Energia meccanica e forze conservative: definizione e formule

Nella lezione che segue, esploreremo concetti fondamentali della fisica: l’energia meccanica e le forze conservative.

Approfondiremo questi concetti, con spiegazioni chiare e formule semplici, per comprendere meglio come funzionano nel mondo reale e nella teoria fisica. Affronteremo il significato dell’energia meccanica e delle forze conservative, esaminando le loro applicazioni e importanza nell’universo della fisica.

• Energia meccanica e forze conservative: definizione
• Definizione di conservazione dell'energia meccanica
• Quando una forza è conservativa
• La forza peso è una forza conservativa
• La forza elastica è una forza conservativa
• La forza d'attrito non è una forza conservativa
• La legge delle forze vive
• Approssimazioni in meccanica classica e trasformazioni galileiane

Energia meccanica e forze conservative: definizione

L’energia meccanica è una grandezza fisica che rappresenta la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un corpo o di un sistema.

L’energia meccanica è la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un corpo in un sistema, £$ E_M = K + U $£.

Le forze in fisica vengono suddivise in due categorie principali, a seconda di come influenzano l’energia meccanica di un sistema.

• conservative, sono legate a potenziali energetici e hanno la caratteristica che il lavoro compiuto da queste forze su un corpo dipende solo dalle posizioni iniziali e finali del corpo e non dalla traiettoria seguita. Un esempio di forza conservativa è la forza gravitazionale.
• non conservative modificano l’energia meccanica totale di un sistema poiché il lavoro compiuto da queste forze dipende dalla traiettoria seguita dal corpo. Ad esempio, la forza di attrito è una forza non conservativa in quanto compie lavoro sulla direzione del movimento e dissipa energia sotto forma di calore.

Definizione di conservazione dell’energia meccanica

La forza elettrica è conservativa, quindi l’energia meccanica (cinetica e potenziale) si conserva:

$$E_c + U = \text{costante}$$

Una particella di massa £$m$£ e carica £$q$£ in moto con velocità di modulo £$v$£ a distanza £$r$£ da una carica puntiforme £$Q$£ che genera il campo elettrico, ha un’energia meccanica data da:

$$\frac{1}{2} mv^2+ \frac{qQ}{4\pi\epsilon_0 r} = \text{cost}$$

Quando una forza è conservativa

Una forza si dice conservativa quando il lavoro che compie non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza (£$A$£) e dal punto di arrivo (£$B$£). Quando in un sistema agiscono solo forze conservative l’energia meccanica rimane costante in tutti i punti (principio di conservazione dell’energia meccanica, £$ K + U = K’ + U’ $£).

Esempi di forze conservative: la forza peso e la forza elastica.
La forza d’attrito non è considerata una forza conservativa.

Attenzione!
Il concetto di energia potenziale si può definire solo per le forze conservative.

La forza peso è una forza conservativa

Perché la forza peso può essere considerata una forza conservativa?

Parte 1
Prendiamo un corpo di massa £$m$£ che cade liberamente verso il suolo, spinto solo dalla forza peso, da un punto £$A$£ ad un punto £$B$£ esattamente sottostante ad £$A$£. I due punti sono separati da un’altezza £$h$£.

Durante il tragitto £$A-B$£ la forza peso compie un lavoro pari a £$m \cdot g \cdot h \cdot \cos{\alpha}$£, ma visto che il tragitto £$A-B$£ è esattamente coincidente con la direzione della forza, l’angolo £$\alpha$£ misura £$0°$£

Quindi il lavoro sarà uguale a: £$W_{AB_{1}} = m \cdot g \cdot h$£

Prendiamo ora un caso in cui lo stesso corpo, sempre spinto solo dalla forza peso, passi da un punto £$C$£ al suolo ma leggermente spostato rispetto alla posizione di £$A$£, e poi da £$C$£ vada verso il punto di arrivo £$B$£. I punti £$A \ B$£ e £$C$£ formano un triangolo rettangolo in £$\widehat{B}$£, dove £$AC$£ è l’ipotenusa.

Il lavoro compiuto dalla forza peso da £$A$£ a £$C$£ è uguale a £$m \cdot g \cdot \frac{h}{\text{cos}{\alpha}} \cdot \cos{\alpha}$£ dato che l’angolo £$\alpha$£ è compreso tra £$AB$£ e £$AC$£.

Quindi £$W = m \cdot g \cdot h$£

Il lavoro che la forza compie nel tratto £$CB$£, invece, è nullo, dato che l’angolo £$\beta$£ compreso tra la direzione della forza e lo spostamento è di £$90°$£ e £$\cos{90°}$£ misura [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/].

Quindi il lavoro sarà £$W_{AB_{2}} = W_{AC} + W_{CB} = m \cdot g \cdot h + 0 = W_{AB_{1}}$£

Il lavoro compiuto dalla forza peso non dipende dalla traiettoria ma solo dal punto di partenza e dal punto di arrivo.

La forza elastica è una forza conservativa

Anche la forza elastica è una forza conservativa poiché lo spostamento dipende dalla forza.

Siccome la forza elastica non è una forza che rimane costante durante lo spazio ma anzi, è direttamente proporzionale allo spostamento, il lavoro che essa compie si trova calcolando l’area sottostante la funzione nel grafico Forza-spazio.

Sul grafico si forma una retta passante per l’origine, quindi il lavoro (£$W$£) si trova calcolando l’area del triangolo rettangolo che ha per cateti £$x$£ e £$F$£. Ma £$F_e = ks$£, quindi l’area del triangolo si trova con: £$W = \frac{1}{2}ks^2$£

L’energia potenziale elastica è il lavoro che la forza elastica potrebbe compiere per riportare la molla nella condizione di equilibrio, essa è sempre positiva dato che il vettore spostamento e il vettore forza hanno sempre stessa direzione e verso.

La forza d’attrito non è una forza conservativa

La forza d’attrito non è una forza conservativa, dato che il lavoro che compie non dipende dallo spostamento £$AB$£, ma dipende dalla traiettoria che essa segue.
Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito viene sempre trasformato in calore, quindi disperso.

Esempio.
Gli pneumatici di una macchina che deve percorrere a £$100 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}$£ la tratta Milano-Roma, e prende la strada più corta, si consumano di meno rispetto a quelli di una macchina che viaggia con la stessa velocità da Milano a Roma ma compie una strada più lunga e passa per Venezia!
Questo perché la seconda macchina ha percorso una strada molto più lunga, quindi le sue gomme hanno sfregato per più chilometri contro l’asfalto.

La legge delle forze vive

La legge delle forze vive:
"quando un corpo possiede un’energia cinetica iniziale e una forza agisce su di esso compiendo un lavoro, l’energia cinetica finale del corpo è uguale alla somma dell’energia cinetica iniziale e del lavoro compiuto dalla forza lungo la traiettoria".

Quindi: £$K_B – K_A = W_{AB}$£

La variazione dell’energia cinetica di un corpo è uguale al lavoro compiuto dalla forza su di esso.

Approssimazioni in meccanica classica e trasformazioni galileiane

Le trasformazioni di Lorentz sono un’estensione delle trasformazioni di Galileo per fenomeni caratterizzati da velocità prossime a quella della luce.

Esse sono riconducibili alle trasformazioni galileiane per velocità £$v$£ significativamente più piccole di £$c$£ (£$v\ll c$£); in tal caso il coefficiente di dilatazione £$\gamma$£ diventa approssimativamente uguale a £$1$£ e le trasformazioni di Lorentz coincidono esattamente con quelle di Galileo, che ben interpretano i fenomeni della meccanica classica.

In quest’ambito non si osservano né la dilatazione del tempo, in quanto £$\Delta t_0=\Delta t’$£, né la contrazione delle lunghezze, perché £$\Delta l_0=\Delta l’$£.

Le trasformazioni galileiane, nel caso in cui £$S’$£, la cui origine £$O’$£ coincide con £$O$£ al tempo £$t=0$£, si muove di moto rettilineo uniforme £$v$£ lungo l’asse £$x$£, diventano: $$\left\{ \begin{array}{ll} x = x’ + vt\\ y=y’\\ z=z’\\ t=t’ \end{array} \right.$$