Le relazioni negli insiemi: cosa sono

Le relazioni tra gli insiemi sono un concetto fondamentale in matematica che si occupa di come gli elementi di un insieme si associano o si collegano agli elementi di un altro insieme, o dello stesso insieme. Questo concetto è cruciale per comprendere e costruire la struttura logica su cui si basano molte aree della matematica, dall’algebra alla teoria dei numeri, dalla geometria all’analisi. Le relazioni tra insiemi aiutano a definire e a chiarire le proprietà e le operazioni tra i diversi enti matematici, fornendo una base per esplorare pattern, costruire funzioni, analizzare sequenze e molto altro.

Una relazione tra due insiemi è definita come un insieme di coppie ordinate, dove ogni coppia consiste in un elemento del primo insieme e un elemento del secondo insieme. Queste coppie rappresentano la relazione esistente tra gli elementi dei due insiemi. Ad esempio, in una relazione di "maggiore di" tra due insiemi di numeri, ogni coppia ordinate mostrerà un numero del primo insieme che è maggiore di un numero del secondo insieme.

Un tipo speciale di relazione tra insiemi è una funzione, dove ogni elemento di un insieme è associato a un unico elemento di un altro insieme. Le funzioni sono uno degli esempi più potenti e utilizzati di relazioni in matematica, e la loro analisi costituisce la base dell’analisi matematica e di molte altre aree della disciplina.

Vediamole meglio.

• Concetto di relazione negli insiemi
• Come rappresentare una relazione tra insiemi

Concetto di relazione negli insiemi

Le relazioni servono a descrivere le proprietà degli elementi di un insieme. Ma quale insieme? Quello che vogliamo: persone, cose, animali, numeri.

Le relazioni quindi vengono create da noi, in base a cosa ci interessa. Lo facciamo da sempre, ma non ce ne accorgiamo. Una relazione è una proposizione in cui compaiono due elementi di uno stesso insieme o di due insiemi diversi. Per esempio, la frase "3 è minore di 4" indica la relazione £$ \mathcal{R} $£: "è minore di" che intercorre tra i numeri 3 e 4. Possiamo scrivere £$ 3 \ \mathcal{R} \ 4 $£: "3 è minore di 4".

Scopriamo tutti i modi in cui possiamo rappresentare o indicare una relazione.

Come rappresentare una relazione tra insiemi

Insiemi

Rappresentare le relazioni è fondamentale perché ti permette di capire quanti e quali elementi sono in relazione. Ci sono diversi modi per rappresentare una relazione. Qui ne vediamo tre:

• rappresentazione insiemistica: è il modo più formale di rappresentare una relazione, ma funziona bene per qualunque tipo di relazione;
• diagramma a frecce: è il più semplice da capire. Gli elementi che sono in relazione nei due insiemi sono uniti da frecce;
• diagramma cartesiano: gli elementi in relazione sono dei punti in un piano cartesiano, quindi se £$ a\ \mathcal{R} \ b$£ scriviamo la coppia £$(a;b)$£. Rappresentano un punto nel piano cartesiano!

Ovviamente, se gli insiemi hanno tanti elementi il diagramma a frecce non funziona tanto bene. In caso di insiemi infiniti, tipo gli insiemi numerici, è utile usare la rappresentazione cartesiana perché ti permette di capire come sono legati gli elementi tra loro. Nei video troverai due esempi sulla rappresentazione delle relazioni.