Le espressioni logiche: ordine di priorità dei connettivi
Le espressioni logiche sono come istruzioni che ci dicono come combinare affermazioni vere o false per arrivare a nuove conclusioni. Usiamo simboli speciali come "E", "O" e "NON" (i connettivi) per collegare queste affermazioni.
Ad esempio, se diciamo "piove E fa freddo", vogliamo che entrambe le condizioni siano vere per considerare vera l’intera affermazione. Quando vogliamo capire come funziona un’espressione logica in tutte le possibili situazioni, creiamo qualcosa chiamato tavola di verità. Questa tavola elenca tutte le combinazioni possibili di vero e falso per le affermazioni che stiamo usando e ci mostra il risultato finale per ciascuna combinazione.
Qual è la priorità dei connettivi? In un’espressione numerica è fondamentale rispettare la priorità delle operazioni per trovare la soluzione; la priorità dei connettivi logici serve per trovare il valore di verità di una proposizione logica.
Se vuoi saperne di più, sei nella lezione giusta! In questa video lezione imparerai come si risolvono le espressioni logiche e qual è l’ordine di priorità dei connettivi logici.
- Espressioni logiche: definizione
- Ordine di priorità dei connettivi logici
- Come costruire una deduzione logica
Espressioni logiche: definizione
Un’espressione logica è una espressione composta da variabili logiche e da connettivi logici.
Ad esempio:
- £$A$£: "Accendo il computer."
- £$B$£: "Creo una nuova cartella."
- £$C$£: "Creo un nuovo file Word."
- £$ A \Rightarrow (B \wedge \overline C)$£: ‘‘Se accendo il computer, allora creo una nuova cartella e non creo un nuovo file Word."
Il valore di verità di un’espressione logica si determina con la tavola di verità. Se vogliamo risolvere un’espressione logica, cioè creare la sua tavola di verità, dobbiamo rispettare alcune priorità nei connettivi.
Ordine di priorità dei connettivi logici
Un’espressione logica è composta da variabili logiche e da connettivi logici. Priorità: se vogliamo risolvere un’espressione logica, cioè trovare la sua tavola di verità, dobbiamo rispettare alcune priorità nei connettivi.
L’ordine di priorità dei connettivi logici è:
- negazione
- congiunzione
- disgiunzione
- implicazione
- doppia implicazione
Ad esempio:
£$ A \Rightarrow (B \wedge \overline C)$£ risolvo nell’ordine: £$ \overline C, (B \wedge \overline C), A \Rightarrow (B \wedge \overline C)$£
Quindi: negazione, congiunzione e infine implicazione. La tavola di verità risulta:
£$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline A & B & C & \overline C & B \wedge \overline C & A \Rightarrow (B \wedge \overline C) \\ \hline V & V & V & F & F & F \\ \hline V & V & F & V & V & V \\ \hline V & F & V & F & F & F \\ \hline V & F & F & V & F & F \\ \hline F & V &V & F & F & V \\ \hline F & V & F & V & V &V \\ \hline F & F & V & F & F & V \\ \hline F & F & F & V & F & V \\ \hline\end{array}$£Leggiamo la prima riga della tavola di verità: se £$ A, B, C$£ sono vere, allora £$ \overline C $£ è falsa, £$ B \wedge \overline C $£ è falsa e la proposizione intera è falsa.
Come costruire una deduzione logica
‘‘Tutti i quadrati hanno £$4$£ lati. È un quadrato, allora ha £$4$£ lati!’’
La frase è costituita da tre proposizioni:
£$A$£: ‘‘Tutti i quadrati hanno £$4$£ lati.’’
£$B$£: ‘‘È un quadrato.’’
£$C$£: ‘‘Allora ha £$4$£ lati.’’
£$C$£ deriva da £$A$£ e £$B$£ e si chiama deduzione logica e si scrive:
£$ A \wedge B \Rightarrow C$£.
Tutta la frase si chiama ragionamento ed è costituito da una premessa o ipotesi £$H$£ (rappresentata da £$A$£ e £$B$£) e da una conclusione £$C$£.
Quindi £$ H \Rightarrow C $£.
Condizione necessaria e sufficiente
Riprendiamo l’esempio di prima: ‘‘Tutti i quadrati hanno £$4$£ lati. È un quadrato, allora ha £$4$£ lati!’’
La premessa è una condizione sufficiente affinché si verifichi necessariamente la conclusione.
condizione sufficiente £$ \Rightarrow$£ condizione necessaria
Ad esempio: "Se c’è la corrente, allora la lampadina si accende. La lampadina è accesa, allora c’è corrente.’’ Il fatto che ci sia corrente è condizione sufficiente affinché necessariamente la lampadina si accenda.
Una condizione può essere allo stesso tempo necessaria e sufficiente. Ad esempio: "Un triangolo è equilatero se e solo se ha tre lati uguali.’’ Si può riscrivere: ‘‘Se un triangolo è equilatero allora ha tre lati uguali e se un triangolo ha tre lati uguali allora è equilatero’’. Pertanto, le condizioni:
£$A$£: Essere equilatero;
£$B$£: Avere i lati uguali;
sono entrambe condizioni necessarie e sufficienti e si scrive £$A \Leftrightarrow B$£.
Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.