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Le funzioni matematiche: definizione e proprietà

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le funzioni in matematica sono concetti fondamentali che descrivono una relazione speciale tra insiemi di numeri o altri oggetti. In termini semplici, una funzione è una regola che associa ogni elemento di un insieme, detto dominio, con un unico elemento di un altro insieme, chiamato codominio.

Per comprendere meglio, immagina una macchina che per ogni input produce un output specifico. In una funzione matematica, l’input è un elemento del dominio, e l’output è l’elemento del codominio associato a quell’input dalla “regola” della funzione. Questa regola può essere espressa in vari modi, come una formula, un grafico, o una descrizione verbale.

Le funzioni sono utilizzate per descrivere relazioni matematiche, risolvere equazioni, modellare fenomeni fisici, economici, biologici, e molto altro. Le funzioni possono assumere forme molto diverse, da semplici linee rette (funzioni lineari) a curve complesse (come le funzioni esponenziali o logaritmiche).

Inoltre, lo studio delle funzioni include l’analisi del loro comportamento, come il calcolo di limiti, derivate e integrali in calcolo differenziale e integrale. Questo permette di esplorare come le funzioni cambiano, come crescono o decrescono, e come si comportano in punti specifici o su intervalli.

Capiamo insieme cosa sono più nel dettaglio.

Cos’è una funzione in matematica

Hai mai provato a fare una spremuta d’arance? O un frullato di frutta? A partire dal frutto, otteniamo un buon frullato attraverso il frullatore. I frutti sono l’input, cioè il nostro punto di partenza, il frullato è l’output, cioè il risultato.

Una funzione, quindi, è come un frullatore! È uno strumento che prende un input, lo “lavora” e trova l’output corrispondente. Ad ogni input corrisponde un unico output! Non è possibile che a due output diversi corrisponda uno stesso input. Tornando al nostro esempio, con una banana non possiamo ottenere un frullato di banana e, contemporaneamente un frullato di fragola. Ad ogni frutto corrisponde il suo frullato!

La caratteristica di una funzione è proprio questa: un solo input, non potrà mai dare due output diversi. A risultati diversi, corrispondono elementi di partenza diversi.

Cos’è una funzione y=f(x): definizione

Abbiamo detto che una funzione prende un input in ingresso e dà un output come risultato. Una funzione mette in corrispondenza due insiemi di valori o di oggetti.

Proviamo a dirlo in termini più matematici, indicando la funzione con una lettera in corsivo minuscolo. Consideriamo un insieme £$ X $£ e un insieme £$ Y $£. Preso £$ x \in X $£ e £$ y \in Y $£ diciamo che £$ y $£ è funzione di £$ x $£ se esiste una funzione £$ f $£ tale che

$$ y = f(x) $$

La funzione £$ f $£ associa ad ogni elemento di £$ X $£ un unico elemento di £$ Y $£.

Quanto abbiamo scritto sopra è solo un’abbreviazione della scrittura £$ \text{funzione}(\text{input}) = \text{output} $£. La funzione è come una macchina che prende qualcosa e lo trasforma in un’altra cosa.

La £$ x $£ si chiama variabile indipendente, mentre la £$ y $£ è la variabile dipendente. Infatti il valore di £$ y $£ dipende dal valore di £$ x $£.

L’insieme £$ X $£ è il dominio della funzione £$ f $£, cioè l’insieme di partenza, l’insieme che contiene gli “input” per la funzione. L’insieme £$ Y $£, invece, è il codominio, cioè l’insieme che contiene tutti gli “output” della funzione £$ f $£. Fanno parte del codominio tutti gli elementi tali che £$ y = f(x) $£.

Esempi di funzioni che non sapevi di conoscere

A far la spesa di funzioni


La funzione tariffa telefonica

Ma a cosa servono mai queste funzioni? Le abbiamo mai incontrate nella vita di tutti i giorni? Certo! Pensa a quando vai a fare la spesa: nel reparto ortofrutta tutti i prezzi sono al chilo. La spesa totale è una funzione della quantità di frutta che stiamo comprando. È un’equazione!

Esempio: le fragole costano £$ 3,50 $£ € al chilo. Possiamo scrivere la funzione £$ s $£ della spesa in questo modo: £$ s(x) = 3,5 \cdot x $£ dove indichiamo con £$ x $£ la quantità di fragole che compriamo in chilogrammi.

Se prendiamo £$ 1 \text{ kg} $£ di fragole, la nostra spesa sarà £$ s(1) = 3,50 \cdot 1 = 3,5 $£ €.

Se prendiamo £$ 350 \text{ g} = 0,35 \text{ kg} $£ di fragola, la nostra spesa sarà £$ s(0,35) = 3,50 \cdot 0,35 = 1,225 $£ €. Ma non esistono i millesimi di euro, quindi probabilmente spenderemo £$ 1,23 $£ €.

Con questo esempio abbiamo visto come calcolare il valore di una funzione per un determinato valore. Cioè abbiamo imparato a valutare la funzione in un punto.

Vediamo un altro esempio per entrare nel mondo delle funzioni.

Esempio: la tua tariffa telefonica ha un costo di £$ 5 $£ € al mese, a cui però va ad aggiungersi un costo di £$ 0,01 $£ € per ogni minuto di chiamata (questa tariffa fa in modo che chiamando per 30 secondi, spenderai comunque 1 centesimo; chiamando per 1 minuto e 50 secondi, spenderai comunque 2 centesimi). Qual è la funzione che rappresenta la tua spesa mensile?

Chiamiamo la funzione £$ c $£ e indichiamo con la variabile indipendente £$ x $£ i minuti (interi arrotondati per eccesso) di chiamate. La nostra spesa mensile sarà indicata dalla funzione £$ c(x) = 5 + 0,01 \cdot x $£.

Se in un mese facciamo chiamate per 7 minuti, spenderemo £$ c(7) = 5 + 0,01 \cdot 7 = 5,07 $£ €.

Se in un mese facciamo chiamate per 15 minuti e 42 secondi, spenderemo come se avessimo chiamato per 16 minuti, cioè £$ c(16) = 5 + 0,01 \cdot 16 = 5,16 $£ €.