Le proposizioni logiche e i valori di verità in matematica

Le proposizioni logiche e i valori di verità sono concetti fondamentali nella matematica, in particolare nel campo della logica matematica. Una proposizione logica è un’affermazione che può essere chiaramente identificata come vera o falsa. Ad esempio, "il quadrato di 2 è 4" è una proposizione perché può essere definita come vera senza ambiguità.

Ogni proposizione logica ha un valore di verità, che è il grado in cui la proposizione è vera e, nella logica classica, esistono solo due valori di verità: vero e falso. Questa dicotomia è la base di molte strutture logiche e matematiche, permettendo di costruire argomenti e deduzioni rigorose.

La logica matematica si serve delle proposizioni e dei loro valori di verità per costruire ragionamenti complessi. Ad esempio, le proposizioni possono essere combinate usando operatori logici come "e" (congiunzione), "o" (disgiunzione), "non" (negazione), "se… allora…" (implicazione) e "se e solo se" (equivalenza). Ognuno di questi operatori ha regole specifiche su come i valori di verità delle proposizioni componenti influenzano il valore di verità della proposizione composta.

Vediamo insieme cosa sono!

• Proposizione logica in matematica: cos'è e a cosa serve
• La variabile logica
• L'equivalenza logica
• Valori di verità di una proposizione logica
• La negazione come proposizione logica
• I quantificatori nelle proposizioni logiche

Proposizione logica in matematica: cos’è e a cosa serve

Una proposizione logica è una frase che può essere vera o falsa.

Esempio: "Il mio gatto è bianco" è una proposizione logica perché basta guardare il gatto per dire se è questa frase è vera oppure no. "Tutti i gatti sono neri" è una proposizione logica perché possiamo dire che è falsa (ci sono anche gatti che non sono neri).

Una frase NON è una proposizione logica se NON possiamo stabilire se è vera o falsa.

In generale le domande e le esclamazioni, non sono proposizioni logiche perché non possiamo dire se sono vere o se sono false.

• "Forse tu hai un asso": il "forse" rappresenta un’indecisione e non possiamo dire se la frase è vera o è falsa.
• "Lisbona è una bella città’" non è una proposizione logica perché la bellezza è una qualità soggettiva, quindi non possiamo dire se la frase è vera o falsa.

Una proposizione logica è una proposizione semplice se è costituita da un solo predicato, cioè da un solo verbo. "Tutti i gatti sono neri", "Oggi c’è il sole", "La lampadina è accesa" sono tutte proposizioni logiche semplici perché costituite tutte da un solo predicato.

La variabile logica

Per comodità, indichiamo le proposizioni logiche con una lettera dell’alfabeto che chiamiamo variabile logica.

Ad esempio, indichiamo con la lettera £$p$£ la proposizione "il mio gatto è bianco ed ha la coda".

Tale proposizione è composta, è vera ed è rappresentata dalla variabile logica £$p$£.

Altri Esempi:

• La proposizione "tutti i gatti portano la corona" è rappresentata dalla variabile logica £$q$£ ed è falsa
• La proposizione "£$7-3=1$£" è rappresentata dalla variabile £$s$£ ed è falsa
• La proposizione "la lampadina è accesa" è rappresentata dalla variabile £$r$£ ed è vera
• La proposizione "l’asso di cuori è una carta rossa" è rappresentata dalla variabile £$c$£ ed è vera.

La tabella in cui facciamo corrispondere ad ogni variabile logica il suo valore di verità, £$V/F$£ o £$1/0$£, si chiama tavola di verità.

L’equivalenza logica

Due proposizioni descritte dalle variabili logiche £$p$£ e £$q$£ si dicono logicamente equivalenti se hanno lo stesso valore di verità, ovvero se sono entrambe vere o entrambe false.

£$p$£: "La lampadina blu è accesa"

£$q$£: "Il mio gatto è bianco"

£$p=q$£

Sono entrambe vere e pertanto logicamente equivalenti, anche se non significano la stessa cosa e non si riferiscono ad uno stesso oggetto.

£$R$£: "L’asso di cuori è una carta rossa" £$V$£

£$S$£: "Il re di picche è una carta rossa" £$F$£

£$R$£ e £$S$£ non sono logicamente equivalenti in quanto una è vera e l’altra falsa.

£$u$£: "Il mio gatto porta la corona." £$F$£

£$v$£: "Oggi è domenica." £$F$£

£$u$£ e £$v$£ sono logicamente equivalenti perché entrambe false.

Valori di verità di una proposizione logica

Una proposizione deve essere necessariamente o vera (V) o falsa (F). Una eventualità esclude l’altra.

Ad esempio: la proposizione "Alice porta gli occhiali" o è vera (e quindi Alice porta gli occhiali) o è falsa (e quindi Alice non li porta) e non può essere contemporaneamente vera e falsa.

Questo si chiama principio di non contraddizione.

Inoltre, non esiste una terza possibilità: o è vera o è falsa (Alice porta gli occhiali oppure non li porta): non ci sono altre alternative.

Questo si chiama principio del terzo escluso.

La negazione come proposizione logica

"I violini hanno quattro corde". "I violini non hanno quattro corde".

Le due frasi sono molto simili ma hanno un significato opposto! La differenza tra le due frasi sta solo in una parola: "non", una negazione.

La prima frase è vera, i violini hanno davvero quattro corde. La seconda è falsa.

"I gatti sono bipedi". "I gatti non sono bipedi".

Anche in questo caso le due frasi si distinguono solo per la parola "non", che ne cambia completamente il significato.

La prima frase è falsa, i gatti non sono bipedi, sono quadrupedi! Ma la seconda è vera.

La negazione trasforma una frase vera in una frase falsa e, viceversa, una frase falsa in una frase vera.

Data la proposizione £$p$£, la sua negazione si indica in questo modo £$\overline{p}$£ (si legge "non £$p$£") oppure con il simbolo £$$¬p$$£.

Il valore di verità di £$$¬p$$£ dipende dal valore di verità di £$p$£, ed è il suo opposto.

Rappresentiamo la negazione con la sua tabella di verità.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline p&¬p\\\hline V&F\\\hline F&V\\\hline \end{array}$$

Esiste un modo molto semplice per negare una frase qualsiasi: basta iniziare la fase con "Non è vero che…".

£$p$£: "Ogni quadrato ha £$3$£ lati".

£$$¬p$$£: "Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati".

Posso applicare la negazione tutte le volte che voglio.

Ad esempio:

£$p$£: "Ogni quadrato ha £$3$£ lati", è falsa.

£$$¬p$$£: "Non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati", è vera.

£$$¬¬p$$£: "Non è vero che non è vero che ogni quadrato ha £$3$£ lati", è falsa.

Attenzione: la doppia negazione è una affermazione; due negazioni si annullano!

I quantificatori nelle proposizioni logiche

In una proposizione semplice troviamo degli elementi particolari che indicano quanti soggetti sono interessati da ciò che è descritto nella proposizione. Questi oggetti sono i quantificatori. Infatti il termine quantificatore deriva dal verbo quantificare che a sua volta deriva dal latino quantus, che significa proprio quanto.

Esempi:

• "Tutti i trapezi sono parallelogrammi" contiene il quantificatore tutti ed è FALSA.
• "Alcuni trapezi sono parallelogrammi" contiene il quantificatore alcuni ed è FALSA.
• "Nessun trapezio è un parallelogramma" contiene il quantificatore nessun ed è VERA.

Come facciamo a negare questo tipo di frasi?
Possiamo procedere aggiungendo "non è vero che" all’inizio della frase, oppure procedere in questo modo: la negazione dei quantificatori "tutti" e "nessuno" è "esiste almeno un … che non …".

Esempi:

• possiamo esprimere la negazione della frase "Tutti i trapezi sono parallelogrammi" in questi modi:
  • "Non è vero che tutti i trapezi sono parallelogrammi" è VERA
  • "Esiste almeno un trapezio che non è un parallelogramma" è VERA
• possiamo esprimere la negazione della frase "Alcuni trapezi sono parallelogrammi" in questi modi:
  • "Non è vero che alcuni trapezi sono parallelogrammi" è VERA
  • "Non esiste un trapezio che è un parallelogramma" è VERA
• possiamo esprimere la negazione della frase "Nessun trapezio è un parallelogramma" in questi modi:
  • "Non è vero che nessun trapezio è un parallelogramma" è FALSA
  • "Esiste almeno un trapezio che è un parallelogramma" è FALSA