Norma di vettore e prodotto vettoriale
Nel linguaggio quotidiano, spesso usiamo termini come "direzione", "forza" o "movimento". In fisica, tali concetti prendono forma attraverso i vettori. I vettori sono entità matematiche che hanno sia magnitudo (ovvero una grandezza) sia direzione. E proprio come ogni lingua ha la sua grammatica, i vettori hanno operazioni specifiche che ne definiscono le interazioni.
Due delle operazioni fondamentali nel mondo dei vettori sono la norma vettoriale e il prodotto vettoriale. La norma vettoriale, a volte chiamata semplicemente "lunghezza" di un vettore, ci dice quanto è "grande" un vettore. È uno strumento essenziale per comprendere l’entità di grandezze fisiche come la forza o la velocità.
Il prodotto vettoriale, d’altro canto, è un’operazione tra due vettori che produce un terzo vettore. Questo nuovo vettore ha proprietà particolari che lo rendono fondamentale in molte applicazioni, ad esempio quando si vuole determinare la direzione di una forza risultante o la rotazione di un oggetto.
Scopriamoli insieme!
- Cos'è la norma di un vettore
- Quali sono le proprietà della norma di un vettore
- Come si normalizza un vettore
- Cos'è il prodotto vettoriale
Cos’è la norma di un vettore
Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, abbiamo già visto come applicare il teorema di Pitagora per calcolare il modulo di un vettore £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ a partire dalle sue componenti: £$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£. Allo stesso risultato possiamo ora arrivare se nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ è definito il prodotto scalare: calcolando la radice quadrata del prodotto scalare del vettore £$\overrightarrow{v}$£ per se stesso, otteniamo £$\sqrt{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£, che viene definita norma euclidea del vettore £$\overrightarrow{v}$£. Gli spazi vettoriali nei quali possiamo calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore, in quanto è definito il concetto di distanza tra due punti o, equivalentemente, le nozioni di prodotto scalare e di norma euclidea, sono chiamati spazi euclidei.
Quali sono le proprietà della norma di un vettore
In uno spazio vettoriale £$V$£ si dice norma una qualunque funzione che assegna a ogni vettore di £$V$£ un numero reale e che soddisfa le seguenti proprietà (facciamo riferimento a due vettori qualsiasi £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a £$V$£, e a uno scalare qualsiasi £$\lambda$£):
- £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert \geq 0$£; in particolare, £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert = 0$£ se e solo se £$\overrightarrow{v}$£ è il vettore nullo in £$V$£ (la norma è definita positiva);
- £$\lVert \lambda\overrightarrow{v} \lVert = \vert \lambda \vert \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (omogeneità);
- £$\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \lVert \leq \lVert \overrightarrow{u} \lVert + \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (disuguaglianza triangolare).
Come si normalizza un vettore
Normalizzare un vettore significa determinare il versore che abbia la stessa direzione e lo stesso verso di quello originario, ma norma uguale a 1. Per normalizzare un vettore £$\overrightarrow{v}$£ è sufficiente:
1) calcolare la norma £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ del vettore;
2) moltiplicare il vettore per il reciproco della sua norma, cioè calcolare il vettore £$\frac{1}{\lVert \overrightarrow{v} \lVert}\overrightarrow{v}$£.
Cos’è il prodotto vettoriale
Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^3$£, e soltanto qui, è definito un ulteriore prodotto tra vettori, che, a differenza del prodotto scalare, dà come risultato un vettore. Questa operazione si chiama prodotto vettoriale.
Dati due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ di £$\mathbb{R}^3$£, diciamo prodotto vettoriale tra i due il vettore £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \lVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \lVert \cdot sin{\alpha} \cdot \overrightarrow{n}$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo formato dai vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$\overrightarrow{n}$£ è il versore (cioè il vettore unitario) che è perpendicolare a entrambi i vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, e il cui verso è individuato dalla regola della mano destra.
Quest’ultima dice che se apriamo la mano destra in modo che il pollice sia perpendicolare alle altre dita, e facciamo ruotare il palmo della mano in modo da far combaciare inizialmente le dita con il primo vettore, £$\overrightarrow{u}$£, e alla fine con il secondo vettore, £$\overrightarrow{v}$£, la direzione e il verso del prodotto vettoriale £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$£ è data dall’orientazione del pollice.