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Operazioni con gli insiemi: proprietà e Leggi di De Morgan

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le operazioni tra insiemi e le leggi di De Morgan sono concetti fondamentali nella teoria degli insiemi, una branca della matematica che studia le collezioni di oggetti distinti chiamati insiemi e le relazioni tra di essi.

Le operazioni principali tra insiemi includono l’unione, l’intersezione e il complemento. L’unione di due insiemi A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi. L’intersezione di A e B è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che a B. Il complemento di un insieme A rispetto a un insieme universo U è l’insieme di tutti gli elementi di U che non appartengono ad A.

Le leggi di De Morgan offrono un modo conveniente per manipolare le operazioni tra insiemi. Esse stabiliscono le relazioni tra le operazioni di unione, intersezione e complemento.

In questa video lezione imparerai:

  • Idempotenza e commutatività: definizione e applicazione nell’unione e nell’intersezione
  • Proprietà associativa: associatività nell’unione e nell’intersezione fra insiemi
  • Assorbimento: intersezione dell’unione di due insiemi
  • Proprietà distributiva: distributività dell’unione rispetto all’intersezione e dell’intersezione rispetto all’unione
  • Complementarietà: definizione e proprietà
  • Leggi di De Morgan: complementare dell’unione e dell’intersezione

Proprietà commutativa

Se £$A$£ e £$B$£ sono insiemi, la proprietà commutativa

  • la proprietà commutativa dell’unione è £$A\cup B=B \cup A$£
  • la proprietà commutativa dell’intersezione è £$A\cap B=B \cap A$£

Proprietà associativa

Associatività (intersezione): l’intersezione di un insieme £$A$£ con l’intersezione di altri due insiemi £$B$£ e £$C$£ è uguale all’intersezione di £$C$£ con l’intersezione di £$A$£ e £$B$£: £$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $£.

Associatività (unione): l’unione di un insieme £$A$£ con l’unione di altri due insiemi £$B$£ e £$C$£ è uguale all’unione di £$C$£ con l’unione di £$A$£ e £$B$£: £$ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$£.

Proprietà di assorbimento

Assorbimento: l’unione di £$A$£ con l’intersezione tra £$A$£ e un altro insieme £$B$£ è uguale ad £$A$£.

Scritto in simboli: £$ A \cup (A \cap B) = A $£ L’intersezione di £$A$£ con l’unione di £$A$£ e £$B$£ è uguale ad £$A$£. Scritto in simboli: £$ A \cap (A \cup B) = A $£.

Proprietà distributiva

Se £$A$£, £$B$£ e £$C$£ sono insiemi la proprietà distributiva

  • dell’unione rispetto all’intersezione è £$A\cup (B\cap C)=(A\cup B) \cap(A\cup C)$£
  • dell’intersezione rispetto all’unione è £$A\cap (B \cup C)=(A\cap B)\cup (A \cap C)$£

Leggi di De Morgan

Proprietà di complementarietà

Se £$U$£ è l’insieme Universo e £$A$£ un insieme appartenente ad £$U$£, si definisce complementare (assoluto) di £$A$£ l’insieme di tutti gli elementi di £$U$£ che non appartengono ad £$A$£.

Proprietà:

  • L’insieme £$A$£ intersecato al suo complementare è l’insieme vuoto.
  • L’insieme £$A$£ unito al suo complementare è l’insieme Universo.

Leggi di De Morgan

1° legge di De Morgan: il complementare dell’intersezione è uguale all’unione dei complementari, cioè: £$ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} $£;

2° legge di De Morgan: il complementare dell’unione è uguale all’intersezione dei complementari, cioè: £$ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} $£.

Altre proprietà degli insiemi

Idempotenza: ogni insieme intersecato o unito a se stesso è l’insieme stesso. £$ A \cap A = A $£ e £$ A \cup A = A $£.

Distributività dell’intersezione rispetto all’unione: l’intersezione dell’insieme £$A$£ con l’insieme £$ B \cup C $£ è uguale all’unione degli insiemi £$ A \cap B $£ e £$A \cap C $£.

Distributività dell’unione rispetto all’intersezione: l’unione dell’insieme £$A$£ con l’insieme £$ B \cap C $£ è uguale all’intersezione degli insiemi £$ A \cup B $£ e £$A \cup C $£.

Interrogazione su proprietà degli insiemi e leggi di De Morgan

Ora che hai studiato tutte le proprietà degli insiemi e le leggi di De Morgan non avrai nessun problema a rispondere alle domande dell’interrogazione! Poi continua allenandoti con gli esercizi!

Sfida sulle proprietà degli insiemi

Sfida:

Soluzione:

Sempre MotoGP! Prova a risolvere la sfida sull’intersezioni tra insiemi! Se qualcosa non ti è chiaro riguarda i video e poi corri a fare gli esercizi!