Funzione inversa e funzione composta: definizione

In questo articolo esploreremo due concetti chiave del calcolo e dell’algebra: la funzione inversa e la funzione composta.

Una volta che abbiamo una funzione $f: A \to B$ esiste una funzione che "torna indietro"? Cioè esiste una funzione che va da $B$ ad $A$?
Quando questa funzione esiste, si chiama funzione inversa.

Possiamo anche comporre due o più funzioni. Ma cosa significa "comporre le funzioni"? Significa creare una nuova funzione combinando due o più funzioni esistenti. Nella composizione di funzioni, il risultato della prima funzione viene utilizzato come valore per la successiva.

Questa operazione è molto utile in matematica per diversi motivi:

• Semplificazione di problemi: Combinando funzioni, possiamo ridurre la complessità di espressioni e calcoli.
• Creazione di nuove funzioni: Permette di formulare funzioni che descrivono relazioni più complesse tra variabili.
• Studio di proprietà funzionali: Attraverso la composizione, è possibile investigare come le caratteristiche di una funzione influenzino quelle di un’altra.

• Funzione inversa
• Funzione composta
• Interrogazione su funzione inversa e funzione composta
• Sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni

Funzione inversa

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

La funzione inversa è una funzione che ha:

• dominio uguale al codominio della funzione di partenza;
• codominio uguale al dominio della funzione di partenza.

Come per le relazioni, anche per le funzioni possiamo "tornare indietro", quindi trovare una nuova funzione che ci permette di passare dall’insieme B all’insieme A. Questa funzione è chiamata funzione inversa. Se $f$ è la funzione di partenza, la funzione inversa si indica con $f^{-1}$ (che non è il reciproco di $f$).

Attenzione: non tutte le funzioni hanno la funzione inversa! Infatti la funzione inversa deve essere una funzione (ovvio no?). Quindi da ogni elemento dell’insieme B deve partire una freccia e arrivare a un elemento dell’insieme A. Ma già sapevamo che da ogni elemento di A partiva una sola freccia. Allora le uniche funzioni che hanno anche la funzione inversa sono le funzioni biunivoche (cioè quelle iniettive e suriettive).

Quindi se $f: A \to B$ è biunivoca, la funzione inversa $f^{-1}:B \to A$ associa a ogni elemento $y$ di $B$ l’elemento $x$ di $A$ tale che $y$ è immagine di $x$ tramite $f$.

Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla retta $y= x$ (bisettrice del I e III quadrante).

Funzione composta

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

La funzione composta è ottenuta a partire da due (o più funzioni) semplicemente applicando prima una funzione e poi l’altra.

Ad esempio, componiamo le funzioni $f(x) = x+1$ e $g(x) = x^2$:

1. partiamo da $x$ e applichiamo la $f$: $x \to x+1$
2. ora applichiamo la $g$: $x+1 \to (x+1)^2$

e abbiamo la nuova funzione composta $h(x)=g(f(x))=(x+1)^2$.
Possiamo scrivere $h = g \circ f$: prima applichiamo la $f$ e poi la $g$.

Attenzione! L’ordine è importante. Infatti in generale $g\circ f \ne f \circ g$.

Interrogazione su funzione inversa e funzione composta

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

Cosa potrebbe chiederti il prof all’interrogazione su funzione inversa e funzione composta?

Sei in grado di rispondere a queste domande? Se vuoi puoi rivedere la lezione e allenarti con gli esercizi!

Sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni

Testo della sfida

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

Soluzione alla sfida

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Possiamo trovare la funzione inversa del numero di aperture delle app del tuo smartphone?

Prova a risolvere la sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni!