Funzione inversa e funzione composta: definizione

In questo articolo esploreremo due concetti chiave del calcolo e dell’algebra: la funzione inversa e la funzione composta.

Una volta che abbiamo una funzione £$f: A \to B $£ esiste una funzione che "torna indietro"? Cioè esiste una funzione che va da £$B$£ ad £$A$£?
Quando questa funzione esiste, si chiama funzione inversa.

Possiamo anche comporre due o più funzioni. Ma cosa significa "comporre le funzioni"? Significa creare una nuova funzione combinando due o più funzioni esistenti. Nella composizione di funzioni, il risultato della prima funzione viene utilizzato come valore per la successiva.

Questa operazione è molto utile in matematica per diversi motivi:

• Semplificazione di problemi: Combinando funzioni, possiamo ridurre la complessità di espressioni e calcoli.
• Creazione di nuove funzioni: Permette di formulare funzioni che descrivono relazioni più complesse tra variabili.
• Studio di proprietà funzionali: Attraverso la composizione, è possibile investigare come le caratteristiche di una funzione influenzino quelle di un’altra.

• Funzione inversa
• Funzione composta
• Interrogazione su funzione inversa e funzione composta
• Sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni

Funzione inversa

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

La funzione inversa è una funzione che ha:

• dominio uguale al codominio della funzione di partenza;
• codominio uguale al dominio della funzione di partenza.

Come per le relazioni, anche per le funzioni possiamo "tornare indietro", quindi trovare una nuova funzione che ci permette di passare dall’insieme B all’insieme A. Questa funzione è chiamata funzione inversa. Se £$f$£ è la funzione di partenza, la funzione inversa si indica con £$f^{-1}$£ (che non è il reciproco di £$f$£).

Attenzione: non tutte le funzioni hanno la funzione inversa! Infatti la funzione inversa deve essere una funzione (ovvio no?). Quindi da ogni elemento dell’insieme B deve partire una freccia e arrivare a un elemento dell’insieme A. Ma già sapevamo che da ogni elemento di A partiva una sola freccia. Allora le uniche funzioni che hanno anche la funzione inversa sono le funzioni biunivoche (cioè quelle iniettive e suriettive).

Quindi se £$f: A \to B$£ è biunivoca, la funzione inversa £$f^{-1}:B \to A $£ associa a ogni elemento £$y$£ di £$B$£ l’elemento £$x$£ di £$A$£ tale che £$y$£ è immagine di £$x$£ tramite £$f$£.

Il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla retta £$ y= x$£ (bisettrice del I e III quadrante).

Funzione composta

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

La funzione composta è ottenuta a partire da due (o più funzioni) semplicemente applicando prima una funzione e poi l’altra.

Ad esempio, componiamo le funzioni £$f(x) = x+1 $£ e £$g(x) = x^2$£:

1. partiamo da £$x$£ e applichiamo la £$f$£: £$x \to x+1$£
2. ora applichiamo la £$g$£: £$x+1 \to (x+1)^2$£

e abbiamo la nuova funzione composta £$h(x)=g(f(x))=(x+1)^2$£.
Possiamo scrivere £$h = g \circ f$£: prima applichiamo la £$f$£ e poi la £$g$£.

Attenzione! L’ordine è importante. Infatti in generale £$g\circ f \ne f \circ g$£.

Interrogazione su funzione inversa e funzione composta

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Cosa potrebbe chiederti il prof all’interrogazione su funzione inversa e funzione composta?

Sei in grado di rispondere a queste domande? Se vuoi puoi rivedere la lezione e allenarti con gli esercizi!

Sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni

Testo della sfida

Funzione inversa e funzione composta: introduzione - Galleria

Soluzione alla sfida

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Possiamo trovare la funzione inversa del numero di aperture delle app del tuo smartphone?

Prova a risolvere la sfida sulla funzione inversa e sulla composizione di funzioni!