La lunghezza della circonferenza: come calcolarla
Calcolare la lunghezza di una circonferenza è un argomento fondamentale nella matematica, con applicazioni pratiche che si estendono dalla geometria alla fisica e all’ingegneria. Questo calcolo, sebbene possa sembrare semplice a prima vista, rivela connessioni profonde con numeri e concetti matematici chiave. In questo articolo, esploreremo in dettaglio come si determina la lunghezza di una circonferenza e quali sono le implicazioni teoriche e pratiche di questo processo.
Inizieremo esaminando la formula classica per la lunghezza della circonferenza e, successivamente, ci concentreremo su come la formula della circonferenza sia applicata in vari contesti.
Scopriamo insieme come calcolarla!
- Eratostene misura la lunghezza della circonferenza della Terra
- Come calcolare la lunghezza della circonferenza
- Come usare il Pi Greco per calcolare la lunghezza della circonferenza
Eratostene misura la lunghezza della circonferenza della Terra
Il primo a misurare la circonferenza terrestre fu Eratostene intorno al £$ 200 \text{ a.C.} $£.
Eratostene è conosciuto come il padre della geografia, ma è stato anche matematico, astronomo e poeta.
Egli era a conoscenza del fatto che la Terra fosse rotonda e che il Sole fosse abbastanza lontano perché i suoi raggi raggiungessero la Terra seguendo linee parallele.
Osservò la differente pendenza dei raggi del Sole durante il solstizio d’estate nelle città di Siene e di Alessandria d’Egitto.
Conoscendo la distanza tra le due città, riuscì ad impostare una proporzione e a trovare la lunghezza della circonferenza terrestre: circa £$ 40 \ 500 \text{ km} $£! Una misura incredibilmente vicina alla lunghezza reale, misurata accuratamente molti anni dopo £$( 40 \ 075 \text{ km} )$£.
Come calcolare la lunghezza della circonferenza
Come misurare una circonferenza?
Quanta strada percorre una bicicletta?
La circonferenza costituisce il contorno del cerchio. Calcolare la lunghezza della circonferenza equivale a calcolare il perimetro del cerchio.
La lunghezza di una circonferenza vale approssimativamente £$ 3 $£ volte la lunghezza del diametro. Infatti la formula per trovare la lunghezza di una circonferenza di raggio £$ r $£ è:
$$ \text{Circonferenza} = \pi \cdot \text{diametro} $$cioè
$$ C = \pi \cdot 2r = 2 \pi r $$Pi greco, che indichiamo con il simbolo £$ \pi $£, è un numero e vale circa £$ 3,14 $£. Ecco perché la circonferenza è lunga circa £$ 3 $£ volte il diametro.
Possiamo ricavare la misura del raggio a partire da quella della circonferenza utilizzando la formula inversa:
$$ r = \frac{C}{2 \pi} $$E come si fa a misurare la lunghezza di un arco di circonferenza? Esiste una proporzionalità diretta tra l’ampiezza dell’angolo al centro e la lunghezza dell’arco su cui insiste: più ampio è l’angolo, maggiore è la lunghezza dell’arco. Se indichiamo con £$ l $£ la lunghezza dell’arco, possiamo impostare la proporzione che ci permette di calcolare quanto misura:
$$ 360^\circ : \alpha = 2\pi \cdot r : l $$Come usare il Pi Greco per calcolare la lunghezza della circonferenza
Il simbolo £$ \pi $£ è stato introdotto nel £$ 1706 $£ dal matematico William Jones, ma è diventato di uso comune dal £$ 1748 $£ grazie ad Eulero. £$ \pi $£ è il valore che si ottiene dividendo la lunghezza di una circonferenza per il suo diametro.
Si dice che i primi a trovare un’approssimazione di £$ \pi $£ furono i Babilonesi: £$ \frac{25}{8} $£, cioè circa £$ 3,125 $£. Probabilmente i costruttori di carri erano curiosi di sapere quanta strada potesse percorrere una ruota di un certo diametro in un giro completo. Anche gli Egizi conoscevano il Pi greco e lo avevano approssimato così: £$ \pi = \left( \frac{8d}{9} \right)^2 $£, circa £$ 3,16 $£.
La prima dimostrazione rigorosa del Pi greco venne proposta però da Archimede: il grande matematico, partendo da una circonferenza di raggio £$ 1 $£, vi inscrisse e circoscrisse un esagono regolare, poi un ottagono, un decagono… e via di seguito fino ad un poligono regolare con ben £$ 96 $£ lati! Man mano che aumenta il numero dei lati, le aree dei poligoni si avvicinano sempre più a quella del cerchio di raggio £$ 1 $£, che sappiamo essere uguale a £$ \pi $£. Quindi Archimede riuscì a delimitare il valore di Pi greco tra due numeri razionali:
$$ \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} $$Per risolvere gli esercizi, spesso approssimiamo £$ \pi $£ con il numero £$ 3,14 $£ senza doverci portare dietro le infinite cifre decimali di questo numero irrazionale.