L'area del cerchio: la formula diretta e inversa
Sin dalle prime civiltà, la figura del cerchio ha occupato una posizione privilegiata nel panorama delle forme geometriche, evocando il significato di infinito, perfezione e armonia. Che si tratti del ciclo solare, dei cerchi formati dalle gocce d’acqua che cadono in una pozzanghera, o delle rotondità delle ruote che hanno spinto avanti le invenzioni umane, il cerchio è sempre stato oggetto di studio dell’uomo, fin dalla sua nascita.
Innanzitutto, è essenziale comprendere cosa sia un cerchio. In termini semplici, un cerchio è l’insieme di tutti i punti in un piano equidistanti da un punto fisso chiamato centro. Questa distanza costante è ciò che definiamo raggio. Uno dei quesiti fondamentali che ha intrigato e sfidato gli uomini per secoli riguarda proprio il cercare di capire come calcolare l’area di questa forma. Il calcolo dell’area del cerchio ha rappresentato una sfida per molto tempo, fino all’introduzione di un nuovo concetto matematico: il π (pi greco). Attraverso l’uso di questo numero irrazionale, che rappresenta il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro, possiamo calcolare l’area di un cerchio con la formula £$A=πr^2$£, dove è il raggio.
Questa formula può sembrare spaventosa, ma non preoccuparti: capiremo insieme come svolgerla in questo articolo!
Il problema di Didone e l’area del cerchio
Il problema di Didone è una delle questioni classiche della matematica che risale all’antichità, e il suo nome evoca la leggenda della regina fenicia Didone che fondò la città di Cartagine. Secondo la mitologia, quando Didone arrivò in Nord Africa, le fu concesso dal re tanta terra quanta ne poteva contenere una pelle di bue. Ingegnosamente, tagliò il cuoio in sottili strisce e le legò insieme per formare un lungo cordone, che poi utilizzò per circondare la massima area possibile: un cerchio.
Questo problema antico getta luce sull’efficienza del cerchio. Matematicamente, il cerchio è la figura che, per una data lunghezza di perimetro (o circonferenza), massimizza l’area. In altre parole, di tutte le forme possibili che potrebbero essere create usando una certa lunghezza come perimetro, il cerchio è quella che ha la maggiore superficie interna.
Come calcolare l’area del cerchio
Il cerchio è la parte di piano contenuta all’interno di una circonferenza.
Per trovare l’area del cerchio di raggio £$ r $£ usiamo la formula
$$ A = \pi \cdot r^2 $$Ma da dove abbiamo ricavato questa formula? Guarda il video per capire la dimostrazione.
A partire dall’area possiamo ricavare la misura del raggio usando la formula inversa:
$$ r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} $$Guarda la dimostrazione della formula dell’area del cerchio: possiamo ricavare l’area a partire da un parallelogramma che ha la base che misura metà della circonferenza e l’altezza uguale al raggio della circonferenza.