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I tipi di angolo: come si classificano

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Gli angoli sono ovunque. Osserva qualsiasi struttura, oggetto o modello matematico, e vi troverai quasi sicuramente un angolo nascosto o più visibile. Ma cosa sono esattamente gli angoli? E come possiamo classificarli e sfruttare le loro proprietà in geometria?

Gli angoli, in termini basilari, sono una misura della rotazione o dell’inclinazione tra due raggi (o segmenti) che si incontrano in un punto chiamato vertice. Rappresentano una porzione dello spazio che li circonda e sono un concetto fondamentale nella matematica in generale e nella geometria in particolare. Possono essere acuti, retti, ottusi o piatti, a seconda della loro ampiezza. Ognuno di questi tipi di angoli ha caratteristiche e proprietà proprie che impareremo insieme in questo articolo. Oltre a queste classificazioni base, ci sono angoli complementari, supplementari ed esplementari.

Pronti? Scopriamo insieme le caratteristiche di questi fondamentali elementi geometrici!

Che cos’è un angolo

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      Vediamo gli angoli tutti i giorni leggendo l’ora sull’orologio: le lancette sono i lati dell’angolo e il centro dell’orologio è il vertice. Ma che cosa sono gli angoli?

      Un angolo è ciascuna delle due parti di piano comprese tra due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette sono i lati dell’angolo, l’origine comune, invece, è il vertice dell’angolo.

      Misuriamo gli angoli utilizzando i gradi e li indichiamo con le lettere dell’alfabeto greco, come α,β,γ \alpha, \beta, \gamma … . Oppure possiamo anche utilizzare tre punti: uno per ciascuna delle due semirette e uno per il vertice. Per esempio scriviamo AO^B A\widehat{O}B l’angolo che ha vertice in O O : la lettera centrale in questa scrittura deve sempre essere il vertice.

      Furono i babilonesi a suddividere per primi i cerchi in 360 360 parti, ciascuna delle quali era un angolo che misura un grado. I babilonesi utilizzarono questa suddivisione perché pensavano che i giorni dell’anno fossero 360 360 . Più avanti si scoprì che i giorni dell’anno sono 365 365 , ma la suddivisione del cerchio in 360 360 parti rimase e continuò ad essere utilizzata per misurare gli angoli. È quello che chiamiamo sistema sessagesimale: 1 1 grado è la 360 360 –esima parte di un cerchio, in ogni grado ci sono 60 60 primi e in ogni primo ci sono 60 60 secondi.

      Come misurare gli angoli

      Per misurare gli angoli utilizziamo uno strumento: il goniometro. Può essere di forma circolare (quindi è suddiviso in 360 360 parti uguali, cioè 360 360^\circ ), oppure semicircolare (suddiviso in 180 180 parti uguali, cioè 180 180^\circ ). Posizioniamo il centro del goniometro in corrispondenza del vertice dell’angolo in modo che lo 0 0 corrisponda al primo lato dell’angolo: guardiamo dove arriva il secondo lato per trovare la misura dell’angolo.

      Per misurare gli angoli utilizziamo il sistema sessagesimale: un grado è la 360360-esima parte di un cerchio. Anche il grado ha i suoi sottomultipli: i primi e i secondi. In un grado ci sono 60 60 primi, in un primo ci sono 60 60 secondi. Non ti sembra di avere a che fare tutti i giorni con queste misure? Funzionano esattamente come i minuti e i secondi nelle misure di tempo! In un’ora abbiamo 60 60 minuti e in ogni minuto abbiamo 60 60 secondi, nello stesso modo:

      1 1^\circ si suddivide in 60 60’
      1 \quad 1’ si suddivide in 60’’ 60’’

      Esempio: α=49 20’ 15’’β=89 59’ 60’’=89 60’ 00’’=90 00’ 00’’ \alpha = 49^\circ \ 20’ \ 15’’ \\ \beta = 89^\circ \ 59’ \ 60’’ = 89^\circ \ 60’ \ 00’’ = 90^\circ \ 00’ \ 00’’

      Gli angoli convessi e concavi

      Angolo convesso α \alpha

      Angolo concavo β \beta

      Abbiamo capito come si disegnano gli angoli. Ora possiamo iniziare a dare qualche altra definizione.

      Un angolo è convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati. Per esempio l’angolo α \alpha è un angolo convesso: se proviamo a prolungare i suoi lati, non sono all’interno dell’angolo.

      L’angolo che contiene il prolungamento dei suoi lati, invece, è un angolo concavo. Per esempio l’angolo β \beta è un angolo concavo: vediamo nell’immagine che il prolungamento dei suoi lati interseca l’angolo.

      Solitamente sono convessi tutti gli angoli che misurano tra 0 0^\circ e 180 180^\circ , sono concavi tutti gli angoli che misurano tra 180 180^\circ e 360 360^\circ .

      Le tipologie di angoli particolari

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          Identifichiamo gli angoli a partire da quanto misurano: ci sono però degli angoli che hanno un nome particolare perché hanno delle caratteristiche che li rendono unici.

          L’angolo giro è l’angolo che misura 360 360^\circ . Lo dividiamo a metà e troviamo l’angolo piatto che misura 180 180^\circ . Se dividiamo l’angolo giro in quattro parti uguali, invece, troviamo l’angolo retto che misura 90 90^\circ .

          A partire dall’angolo retto possiamo riconoscere se un angolo è acuto o ottuso: un angolo ottuso è un angolo α \alpha che ha misura $ 90^\circ angolo acuto, invece, è un angolo [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] \beta $$ che ha misura [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] 0 Gli angoli acuti e gli angoli ottusi sono tutti angoli convessi. In generali sono concavi gli angoli £$ \gamma che hanno un’ampiezza [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] 180^\circ

          Confronto e somma tra angoli

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              Possiamo confrontare due angoli per capire come variano le loro ampiezze. Ma come si fa? Come abbiamo già visto con i segmenti, per confrontare l’ampiezza di due angoli, dobbiamo sovrapporli facendo coincidere il vertice e un lato. Se anche l’altro lato coincide, i due angoli hanno la stessa ampiezza, quindi sono congruenti. Se il lato del secondo angolo cade all’interno del primo angolo, il secondo angolo sarà minore del primo; se invece il lato del secondo angolo cade all’esterno del primo angolo, il secondo angolo sarà maggiore del primo. Se due angoli hanno ampiezze diverse è maggiore l’angolo con ampiezza maggiore!

              Dopo aver confrontato le ampiezze di due angoli, proviamo a sommarli. Per sommare due angoli, dobbiamo prima disegnarli in modo che siano consecutivi: hanno il vertice e un lato in comune; gli altri due lati sono da parti opposte rispetto al lato comune. L’ampiezza dell’angolo somma è uguale alla somma delle ampiezze dei due angoli.

              Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i due lati non comuni appartengono alla stessa retta.

              Due angoli sono opposti al vertice quando i lati di uno sono il prolungamento dei lati dell’altro: i quattro angoli che si creano sono congruenti a due a due.

              Angoli complementari, supplementari, esplementari

              Quando la somma di due angoli dà un risultato particolare, questi due angoli possono essere:

              • se la somma di due angoli è 90 90^\circ , i due angoli sono complementari;
              • se la somma è 180 180^\circ , i due angoli sono supplementari;
              • se la somma di due angoli è 360 360^\circ , i due angoli sono esplementari.

              Anche se non sappiamo la misura dei due angoli, il fatto che siano complementari, supplementari o esplementari, ci dà già un’informazione sulla loro somma. Questo può esserci utile per risolvere il problema!

              Esercizi con gli angoli

              Esercizio svolto: gli angoli supplementari

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                  Esercizio svolto: i multipli e sottomultipli

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                      Per sommare due angoli dobbiamo spostarli in modo che diventino consecutivi, cioè in modo che abbiano il vertice e un lato in comune. L’angolo che otteniamo in questo modo è la somma dei due angoli. Se la somma di due angoli consecutivi è 180 180^\circ , allora i due angoli sono adiacenti.

                      Per sottrarre due angoli di ampiezza diversa, dobbiamo sovrapporli in modo che abbiano un vertice e un lato in comune. L’angolo che si ottiene è la differenza tra i due angoli. Se i due angoli invece sono congruenti, la loro differenza sarà un angolo nullo.

                      È possibile trovare il doppio di un angolo? O il triplo? Certo! Possiamo trovare tutti i multipli di un angolo: basta sommare a quell’angolo un altro uguale o due uguali! Otteniamo i multipli di un angolo addizionando ad un angolo la sua stessa ampiezza un numero fissato di volte. Ma esistono anche i sottomultipli di un angolo: si ottengono suddividendo l’angolo in angoli congruenti. In che modo? Per esempio con la bisettrice di un angolo: è quella semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti, cioè esattamente a metà. Ciascuna di queste due parti, quindi è un sottomultiplo dell’angolo di partenza.