I poliedri: regolari, irregolari e semiregolari

Le figure geometriche possono essere definite come un insieme qualsiasi di punti che si trovano all’interno dello spazio. Queste figure possono essere di due diverse tipologie:

• figure piane: si tratta di tutte quelle figure che occupano un piano e, di conseguenza, hanno soltanto due dimensioni che sono la lunghezza e l’altezza;
• figure solide: si tratta di figure che occupano lo spazio e non soltanto un piano, quindi hanno tre dimensioni che sono la lunghezza, l’altezza e la profondità.

Da questa classificazione deriva anche la distinzione tra:

• geometria piana: che studia i poligoni, cioè degli spazi di piano delimitati da linee spezzate e chiuse;
• geometria solida: che studia i solidi, tutte le figure che hanno anche un volume in quanto hanno anche una profondità, oltre che l’altezza e la lunghezza.

Proprio questi sono i temi che andremo ad imparare meglio oggi nella nostra lezione. Vediamoli insieme e scopriamo qual è la differenza tra poligoni e poliedri e come si classificano i poliedri!

• La geometria solida: la geometria delle tre dimensioni
• Cosa sono i poliedri
• I poliedri regolari
• Lo sviluppo piano dei solidi
• I poliedri irregolari
• I poliedri semiregolari

La geometria solida: la geometria delle tre dimensioni

Finora hai sentito parlare di geometria piana: punti, rette, segmenti e poligoni sono tutte figure che possiamo disegnare su un foglio senza difficoltà, magari aiutandoci con un righello.
Ma cosa succede se vogliamo aumentare ancora le dimensioni? Abbiamo parlato del
punto, un oggetto che non ha dimensioni. Poi siamo passati alla retta, che ha una sola dimensione: la lunghezza. Infine abbiamo parlato del piano che ha due dimensioni: lunghezza e larghezza. Aggiungiamo la terza dimensione: l’altezza. Cosa otteniamo? Lo spazio!

Pensa ad un mondo in due dimensioni: sarebbe un po’ come Flatlandia (romanzo fantastico-fantascientifico del 1884 scritto da Edwin Abbott Abbott). Vedremmo solo punti e segmenti, senza poter apprezzare le numerose forme che ci circondano; non potremmo saltare, volare, scalare le montagne, ma saremmo bloccati a muoverci sul piano, avanti e indietro, a destra e a sinistra.

Impariamo a passare dalle due alle tre dimensioni: costruiamo i solidi!
Vedremo insieme che ne esistono di tutti i tipi e sono collegati alle figure che abbiamo già studiato affrontando i poligoni.

Cosa sono i poliedri

A partire dalle figure che conosciamo, possiamo costruire tutti i solidi che vogliamo. Iniziamo a conoscere i solidi: i primi che di cui parliamo sono i poliedri.

Ti ricordi cos’erano i poligoni? Figure con molti angoli. Anche la parola poliedro è una parola composta: significa “molte facce". Infatti un poliedro è una figura solida delimitata da poligoni.

Diamo la definizione di tutte le parti di un poliedro:

• i poligoni che delimitano il poliedro sono le sue facce;
• i lati dei poligoni sono gli spigoli del poliedro;
• i vertici dei poligoni sono anche i vertici del poliedro;
• le diagonali di un poliedro sono tutti i segmenti che collegano due vertici di facce non adiacenti.

Anche i poliedri possono essere convessi o concavi. Come facciamo a riconoscerli? Proprio come facevamo con i poligoni! Questa volta, invece di prolungare i lati del poligono, dobbiamo “prolungare" le facce del poliedro: se il piano che contiene ciascuna faccia non interseca mai il poliedro, il poliedro è convesso; se il piano che contiene una faccia interseca il poliedro, allora il poliedro è concavo.

Possiamo classificare i poliedri in base al numero di facce, un po’ come avevamo fatto con i poligoni, classificati in base al numero di lati:

• il tetraedro è un poliedro con 4 facce;
• il pentaedro è un poliedro con 5 facce;
• l’esaedro è un poliedro con 6 facce;
• l’eptaedro è un poliedro con 7 facce;
• l’ottaedro è un poliedro con 8 facce…

E così via!

I poliedri regolari

I poliedri regolari sono poliedri che hanno facce tutte uguali e tutte regolari. Ma non solo! In ogni vertice deve arrivare sempre lo stesso numero di facce. I poliedri regolari sono solo cinque e sono chiamati solidi platonici:

• tre hanno come facce dei triangoli equilateri: il tetraedro regolare (4 facce), l’ottaedro regolare (8 facce), l’icosaedro regolare (20 facce);
• uno ha come facce dei quadrati: l’esaedro regolare, che comunemente chiamiamo cubo (6 facce);
• uno ha come facce dei pentagoni regolari: il dodecaedro regolare (12 facce).

Ci sono anche degli altri poliedri che non sono regolari però hanno comunque delle proprietà. Questi sono i poliedri archimedei, ottenuti a partire dai poliedri regolari troncando i vertici in modo diverso. Altri poliedri che approfondiremo meglio sono invece i prismi, le piramidi, i tronchi di piramide e tutti gli altri solidi che non sono poliedri regolari.

Lo sviluppo piano dei solidi

Sviluppo piano di un prisma

Grazie allo sviluppo piano di un poliedro, riusciamo a visualizzare meglio le facce.

È una rappresentazione in due dimensioni di un oggetto che ha tre dimensioni. Riusciamo a visualizzare tutta la superficie del poliedro.

Consideriamo un poliedro qualunque. La superficie totale (£$ S_{tot} $£) del solido è rappresentata dalla somma di:

• superficie laterale (£$ S_l $£), cioè la parte dello sviluppo che rappresenta le facce laterali;
• superficie delle basi (due nel caso dei prismi, una sola per le piramidi)

I poliedri irregolari

I poliedri irregolari sono delle figure geometriche tridimensionali che non soddisfano le condizioni di regolarità delle quali abbiamo discusso prima. Ciò significa che le loro facce non sono poligoni regolari: le loro facce non hanno lati e angoli interni di misura uguale, non sono identici tra loro e quindi non possono rientrare all’interno della categoria dei poliedri regolari.

I poliedri semiregolari

I poliedri semiregolari, invece, sono delle figure geometriche nelle quali le facce sono costituite da due o più poligoni regolari che si incontrano in dei vertici. I poligoni semiregolari si distinguono in due categorie diverse:

• nella prima categoria vi sono i poliedri archimedei, i prismi e gli antiprismi;
• nella seconda categoria vi sono i diamanti, gli antidiamanti e i poliedri di Catalan.

La differenza tra la prima e la seconda categoria è nelle proprietà delle facce, degli spigoli e dei vertici. Infatti, nella prima categoria:

• le facce sono dei poligoni regolari di due o più tipi;
• i vertici sono isometrici, quindi in ogni vertice convergono le stesse figure nello stesso modo;
• gli spigoli sono congruenti.

Nella seconda categoria, invece:

• le facce sono isometriche, quindi è possibile intercambiarle senza che vi sia differenza;
• gli angoli che convergono nello stesso vertice sono congruenti.