Equazioni parametriche e grafici deducibili con le coniche

Le equazioni parametriche e i grafici deducibili con le coniche rappresentano un argomento fondamentale in geometria analitica, con applicazioni estese in vari campi della scienza e dell’ingegneria. Le coniche, tra cui ellissi, parabole e iperboli, sono curve ottenute dall’intersezione di un piano con un cono e possiedono proprietà geometriche uniche che le rendono indispensabili per modellare e analizzare molte situazioni reali.

Impara cosa sono le equazioni parametriche e a cosa servono, cos’è il luogo geometrico descritto al variare di un parametro. Scopri in che relazione sono le coniche con moduli e radici: impara insieme a noi a disegnare i grafici deducibili!

• Equazioni parametriche
• Le coniche e loro proprietà
• Grafici deducibili
• Sfida su coniche ed equazioni parametriche

Equazioni parametriche

Equazioni parametriche, luoghi geometrici e grafici deducibili con le coniche - Galleria

Le equazioni parametriche offrono un metodo potente per rappresentare le curve in una forma più flessibile e intuitiva. A differenza delle equazioni cartesiane tradizionali, che esprimono una relazione diretta tra le coordinate $x$ e $y$, le equazioni parametriche utilizzano uno o più parametri per definire le coordinate dei punti sulla curva. Questo approccio non solo facilita la descrizione di movimenti lungo le curve, ma permette anche una rappresentazione più chiara delle loro proprietà geometriche.

Come le definiamo? Le equazioni parametriche sono equazioni in cui oltre all’incognita compaiono anche altre lettere che chiamiamo parametri.

Tutte le curve che abbiamo studiato ammettono una rappresentazione sotto forma di equazioni parametriche.

In generale un’equazione parametrica si scrive £$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$£ dove £$f$£ e £$g$£ sono due funzioni la cui variabile indipendente è £$t$£. Le equazioni parametriche ci dicono come cambiano le variabili £$x$£ e £$y$£ al variare del parametro £$t$£.

Scheda per ripassare le equazioni parametriche

Quale valore deve assumere il parametro affinché l’equazione abbia soluzione? Prima di passare all’applicazione sulle coniche, allenati con gli esercizi di verifica per verificare la tua conoscenza delle equazioni parametriche.

Scarica qui il pdf degli esercizi:

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Le coniche e loro proprietà

Le coniche sono tra le curve più studiate in geometria analitica. Ognuna di esse ha una forma e una definizione specifica:

• Ellisse: definita come il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. Le ellissi sono utilizzate per descrivere le orbite dei pianeti e altri fenomeni astronomici.
• Parabola: definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso (fuoco) e una linea retta (direttrice). Le parabole sono fondamentali nella descrizione delle traiettorie dei proiettili e nelle riflessioni dei segnali.
• Iperbole: definita come il luogo dei punti per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi (fuochi) è costante. Le iperboli appaiono in molte applicazioni scientifiche, tra cui la descrizione delle orbite iperboliche e in alcuni fenomeni ottici.

Luoghi geometrici

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Utilizzando la tecnica di eliminazione del parametro, possiamo cercare di capire qual è la curva associata ad un certo sistema di equazioni parametriche, trovando così l’equazione cartesiana della curva.

Bisogna stare attenti: a volte vanno imposte delle condizioni sul parametro prima di eliminarlo!

Grafici deducibili

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Qui trovi degli esercizi svolti e spiegati sui grafici che si possono ottenere dalle coniche inserendo valori assoluti e radici nelle equazioni delle coniche!

Sfida su coniche ed equazioni parametriche

Sfida:

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Soluzione:

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E per concludere in bellezza il capitolo sulle coniche ti proponiamo ben due sfide! Continua il tuo itinerario per Roma: che percorso hai tracciato? Scopri tutto nella sfida e leggi la soluzione!