Equazione di una conica e fasci di coniche: come ottenerla

Le coniche sono curve ottenute dall’intersezione di un piano con un cono a due falde. Queste curve includono ellissi, parabole e iperboli, ognuna con proprietà geometriche distintive e applicazioni in vari campi della scienza e dell’ingegneria. Le equazioni delle coniche possono essere rappresentate in diverse forme, ma la forma generale è un’equazione quadratica in due variabili.

I fasci di coniche, invece, sono insiemi di coniche che condividono alcune proprietà comuni, come passare per gli stessi punti o avere lo stesso asse di simmetria.

Impara che equazione generale hanno le coniche e quali condizioni devi dare per ottenere una circonferenza, una parabola, un’iperbole o un’ellisse! Scopri cosa sono i fasci di coniche e come studiarli!

• Equazione di una conica
• I passaggi per trovare l'equazione
• Fasci di coniche
• Esercizi sulle sezioni coniche
• Sfida sull'equazione di una conica

Equazione di una conica

Equazione di una conica e fasci di coniche - Galleria

Vogliamo associare alle coniche un’equazione il più generale possibile, cioè un’equazione che riesca a rappresentarle tutte, al variare di alcuni coefficienti.

L’equazione ha la forma £$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$£, cioè un’equazione di secondo grado in due incognite e con coefficienti reali: l’importante è che i coefficienti £$A$£, £$B$£ e £$C$£ non siano contemporaneamente nulli!

I passaggi per trovare l’equazione

Calcolare l’equazione di una conica richiede diversi passaggi, a seconda delle informazioni disponibili e del tipo di conica in questione (ellisse, parabola o iperbole). Ecco una guida generale sui passaggi per determinare l’equazione di una conica:+

1. Identificazione del Tipo di Conica

Prima di calcolare l’equazione, è importante identificare il tipo di conica basandosi sulle caratteristiche geometriche o i dati forniti. Le coniche principali sono:

• Ellisse
• Parabola
• Iperbole
• Cerchio (caso speciale dell’ellisse)

2. Raccolta delle Informazioni Necessarie

Raccogli le informazioni necessarie per calcolare l’equazione della conica. Queste possono includere:

• I fuochi (per ellisse e iperbole)
• I vertici (per ellisse e iperbole)
• Il centro (per ellisse, iperbole e cerchio)
• L’asse maggiore e minore (per ellisse)
• L’asse di simmetria e il fuoco (per parabola)
• Il raggio (per cerchio)

3. Scrittura della Forma Generale dell’Equazione

Utilizza la forma generale dell’equazione della conica:

£$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$£

4. Determinazione dei Coefficienti

Sostituisci le informazioni raccolte nei passaggi precedenti per determinare i coefficienti $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$.

Fasci di coniche

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Quando abbiamo un’equazione di secondo grado in due incognite dipendente da un certo parametro £$k$£ siamo davanti ad un fascio di coniche: al variare del parametro l’equazione rappresenta una delle quattro coniche!

Per capire meglio guarda lo svolgimento dell’esercizio!

Esercizi sulle sezioni coniche

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Cosa ti chiederà domani la prof nella verifica o nell’interrogazione sulle sezioni coniche? Noi ti proponiamo queste domande! Gli esercizi sono svolti: leggi bene la spiegazione così da ripassare per domani!

Sfida sull’equazione di una conica

Sfida:

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Soluzione:

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Decidi di visitare Roma con la tua amica: avete una cartina ma è rovinata! Cosa c’entra tutto questo con l’equazione di una conica? Scoprilo leggendo la sfida e provando a risolverla! Poi corri a fare gli esercizi!