L'ellisse: il formulario di geometria analitica
Qui troverai tutte le formule di Geometria analitica che ti servono per risolvere gli esercizi di geometria analitica sull’ellisse: forma canonica, coordinate di vertici e fuochi, eccentricità e formula di sdoppiamento.
Se non ti ricordi qualche formula dell’ellisse sei nel posto giusto! In questa lezione troverai:
- la forma canonica dell’ellisse
- le coordinate di vertici e fuochi di un’ellisse coi fuochi sull’asse £$x$£
- le coordinate di vertici e fuochi di un’ellisse coi fuochi sull’asse £$y$£
- la formula dell’eccentricità
- la formula di sdoppiamento
- Che cos'è l'ellisse
- Forma canonica dell'ellisse
- Formule ellisse con fuochi sull'asse £$x$£
- Formule ellisse con fuochi sull'asse £$y$£
- Formule dell'eccentricità
- Formula di sdoppiamento
Che cos’è l’ellisse
L’ellisse è una figura geometrica piana, chiusa, che appartiene alla famiglia delle coniche, risultante dal taglio di un cono con un piano inclinato rispetto all’asse del cono stesso. La caratteristica distintiva dell’ellisse è che la somma delle distanze da qualsiasi punto sulla curva a due punti fissi, chiamati fuochi, è costante. Questa proprietà rende l’ellisse unica rispetto ad altre coniche come la parabola e l’iperbole.
Geometricamente, un’ellisse può essere descritta come il luogo geometrico dei punti per i quali la somma delle distanze a due punti fissi (i fuochi) è sempre uguale a una costante, maggiore della distanza tra i fuochi. Questa definizione riflette la proprietà fondamentale dell’ellisse e la distingue come forma morbida e allungata, a differenza del cerchio, che può essere considerato un caso speciale di ellisse in cui i due fuochi coincidono.
Forma canonica dell’ellisse
La forma canonica dell’ellisse è l’equazione che descrive la figura geometrica dell’ellisse in un sistema di coordinate cartesiane, quando questa è posizionata in modo tale che i suoi assi principali siano allineati con gli assi delle coordinate. Questa rappresentazione standard facilita l’analisi e il calcolo delle proprietà dell’ellisse.
La forma canonica dell’ellisse è data dall’equazione $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
dove £$a$£ e £$b$£ sono le misure dei semiassi.
- Se £$a^2>b^2$£ l’ellisse ha i fuochi sull’asse £$x$£
- Se £$a^2
Formule ellisse con fuochi sull’asse £$x$£
Se £$a^2 > b^2$£ allora l’ellisse £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ ha
- l’asse maggiore che misura £$2a$£
- l’asse minore che misura £$2b$£
- i vertici di coordinate £$(\pm a;0)$£ e £$(0;\pm b)$£
- i fuochi di coordinate £$(\pm c;0)$£ con £$c=\sqrt{a^2-b^2}$£
Formule ellisse con fuochi sull’asse £$y$£
Se £$b^2 > a^2$£ allora l’ellisse £$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$£ ha
- l’asse maggiore che misura £$2b$£
- l’asse minore che misura £$2a$£
- i vertici di coordinate £$(\pm a;0)$£ e £$(0;\pm b)$£
- i fuochi di coordinate £$(0;\pm c)$£ con £$c=\sqrt{b^2-a^2}$£
Formule dell’eccentricità
L’eccentricità di un’ellisse è una misura numerica che descrive quanto l’ellisse si discosta dalla forma di un cerchio perfetto. Nella geometria delle coniche, l’eccentricità è un parametro fondamentale che aiuta a definire la forma specifica della conica, e in particolare dell’ellisse.
L’eccentricità dell’ellisse è:
- £$e=\frac{c}{a}$£ se i fuochi dell’ellisse sono sull’asse £$x$£
- £$e=\frac{c}{b}$£ se i fuochi dell’ellisse sono sull’asse £$y$£
Formula di sdoppiamento
Per calcolare l’equazione di una retta tangente all’ellisse in un suo punto £$P(x_P;y_P)$£ usiamo la formula di sdoppiamento: $$\frac{x\cdot x_P}{a^2}+\frac{y\cdot y_P}{b^2}=1$$