Gli operatori logici binari: congiunzione e disgiunzione
Gli operatori logici binari, in particolare la congiunzione ("E") e la disgiunzione ("O"), sono pilastri fondamentali del ragionamento logico e della matematica computazionale.
Questi operatori (diversi dalla negazione, che è un operatore logico unario in quanto agisce su una singola proposizione) permettono di costruire proposizioni complesse a partire da affermazioni più semplici, offrendo uno strumento potente per modellare e analizzare relazioni logiche tra diverse condizioni: è binario proprio perchè lega almeno due proposizioni.
La congiunzione esprime un’operazione logica in cui il risultato è vero solo quando entrambe le proposizioni coinvolte sono vere, riflettendo il concetto di "entrambe" nel linguaggio quotidiano. La disgiunzione, invece, corrisponde all’idea di "almeno una" delle proposizioni che deve essere vera perché il risultato complessivo sia vero, catturando così la flessibilità del "o" inclusivo.
La congiunzione
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- £$p$£: " Oggi è domenica’’;
- £$q$£: " Oggi c’è il sole’’.
Le due proposizioni possono essere composte in una proposizione composta mediante la congiunzione e:
£$p$£ e £$q$£: " Oggi è domenica e oggi c’è il sole’’.
È una proposizione composta ottenuta mediante l’operatore binario congiunzione «e», rappresentato dal simbolo £$\wedge$£.
Altri esempi sono:
- "La lampadina rossa è accesa e la lampadina blu è accesa".
- "Il mio gelato è alla fragola e al pistacchio".
- "Ha i capelli corti e porta gli occhiali".
- "Alice guarda i gatti ed i gatti guardano il sole".
Per stabilire se le frasi composte sono vere (£$V$£) oppure false (£$F$£) usiamo le tavole di verità. In particolare, £$\pmb{p}$£ £$\wedge$£ £$\pmb{q}$£ è vera solo quando £$\pmb{p}$£ e £$\pmb{q}$£ sono entrambe vere.
La tavola di verità per la congiunzione è sempre valida per qualsiasi proposizione logica.
Allora se consideriamo le due proposizioni:
- £$\pmb{A}$£: "il re di cuori è una carta di cuori";
- £$\pmb{B}$£: "il re di cuori è un asso".
La proposizione £$\pmb{A}$£ £$\wedge$£ £$\pmb{B}$£ : "il re di cuori è una carta di cuori ed è un asso" è una proposizione falsa.
Disgiunzione inclusiva
Un altro operatore binario è la disgiunzione inclusiva:
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- £$p$£: "La lampadina rossa è accesa";
- £$q$£: "La lampadina blu è accesa".
La proposizione composta mediante la disgiunzione inclusiva si indica con £$\pmb{p \vee q}$£ e si legge: "La lampadina rossa è accesa o la lampadina blu è accesa’’.
Ed indica che entrambe le lampadine possono essere accese o una delle due è accesa e l’altra spenta.
Dunque, £$p \vee q$£ è falsa quando entrambe £$p$£ e £$q$£ sono false. Ed è vera se almeno una delle due è vera.
Altri esempi di disgiunzione inclusiva:
- Il mio gelato è alla fragola o al pistacchio
- Ho una carta rossa o ho una carta di cuori
- Porta la maglietta blu oppure i pantaloni azzurri.
Disgiunzione esclusiva
La disgiunzione esclusiva è un operatore logico binario che esprime un’alternativa.
Consideriamo le due proposizioni indipendenti:
- £$p$£: "Questa carta è un asso";
- £$q$£: "Questa carta è un due".
In questo caso £$p$£ e £$q$£ si escludono a vicenda, pertanto la proposizione composta mediante disgiunzione esclusiva "Questa carta o è un asso o è un due’’ è vera solo quando è vera una sola delle due, falsa in tutti gli altri casi.
Tale tipo di operatore "o…o’’ si chiama disgiunzione esclusiva perché una proposizione esclude l’altra.
Si indica con £$P \dot{V} Q$£
Ad esempio, consideriamo la proposizione logica composta:
- £$ p \dot{V} q $£: "Il mio gelato o è alla fragola o è al pistacchio."
Essa è costituita dalle due proposizioni semplici:
- £$p$£:"il mio gelato è alla fragola";
- £$q$£: "il mio gelato è al pistacchio".
£$p$£ è vera e £$q$£ è vera, allora £$p \dot{V} q$£ è falsa perché £$p$£ e £$q$£ rappresentano due alternative esclusive.
Se £$p$£ è vera e £$q$£ è falsa, allora £$p \dot{V} q$£ è vera e lo stesso accade se £$p$£ è falsa e £$q$£ è vera. Se il mio gelato non è né alla fragola, né al pistacchio, £$p \dot{V} q$£ è falsa.