L'implicazione materiale: definizione e proprietà

L’implicazione materiale è un concetto fondamentale nella logica e nella matematica, essenziale per comprendere come le proposizioni si relazionano tra loro in modi che riflettono il ragionamento deduttivo.

In termini semplici, un’implicazione materiale è una relazione tra due proposizioni, in cui la verità di una (l’antecedente) implica la verità dell’altra (il conseguente) e viene espressa tramite l’operatore “se… allora…”.

Una caratteristica peculiare dell’implicazione materiale è che essa è considerata vera in tutti i casi, eccetto quando un antecedente vero porta a un conseguente falso. Questo significa che un’implicazione con un antecedente falso è automaticamente vera, indipendentemente dalla verità del conseguente, e una con un conseguente vero è sempre vera, indipendentemente dalla verità dell’antecedente.

• Proprietà dell'implicazione
• La negazione dell'implicazione
• La riflessività dell'implicazione
• La proprietà dell'implicazione che lega negazione e disgiunzione
• La proprietà dell'implicazione che lega negazione e congiunzione
• La transitività dell'implicazione

Proprietà dell’implicazione

L’implicazione materiale possiede diverse proprietà fondamentali che ne facilitano l’uso e la comprensione in contesti più ampi. Vediamo le più importanti:

• negazione;
• riflessività;
• mista £$1$£ (lega negazione e disgiunzione);
• mista £$2$£ (lega negazione e congiunzione);
• transitività.

Si scrivono così:

• £$ p \Rightarrow q = \overline q \Rightarrow \overline p$£;
• £$ p \Rightarrow p = V$£;
• £$ p \Rightarrow q = \overline p \vee q$£ ;
• £$ p \Rightarrow q = \overline{(p \wedge \overline q)}$£;
• £$[(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)= V$£.

La negazione dell’implicazione

Come si nega un’implicazione?

La proposizione £$ p \Rightarrow q $£ è equivalente a £$ \overline q \Rightarrow \overline p. $£

Ad esempio:

£$ P \Rightarrow Q$£: ‘‘Se è una zebra allora ha le strisce.’’

è equivalente a:

£$ \overline Q \Rightarrow \overline P $£: ‘‘Se non ha le strisce, allora non è una zebra!’’

Devo invertire £$P$£ con £$Q$£! Infatti se fosse £$ \overline P \Rightarrow \overline Q, $£ sarebbe:

“Se non è una zebra, allora non ha le strisce!” … Invece la tigre non è una zebra, ma ha le strisce!

Questo lo si dimostra utilizzando la tavola di verità:

£$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline Q & \overline P & \overline Q \Rightarrow \overline P \\ \hline V & V & V & F & F & V \\ \hline V & F & F & V & F & F \\ \hline F & V & V & F & V &V \\ \hline F & F & V & V & V & V \\ \hline\end{array}$£

Infatti la terza colonna e la sesta sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.

La riflessività dell’implicazione

La riflessività dell’implicazione: £$ \pmb{P}$£ implica se stessa? Sì!

£$ P \Rightarrow P = V $£ cioè è una tautologia.

Ad esempio:

£$ p \Rightarrow p $£ : “Se il mio gatto è bianco, allora è bianco!”

In questo caso la tabella è:

£$\begin{array}{|c|c|c|}\hline P & Q=P & P \Rightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}$£

La proprietà dell’implicazione che lega negazione e disgiunzione

Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la disgiunzione?

Esempio: ‘‘Se non sbaglio, Granada è in Spagna!’’

£$p \Rightarrow q$£

L’implicazione può essere riscritta utilizzando la negazione e la disgiunzione:

‘‘O mi sbaglio, o Granada è in Spagna!’’

£$ \overline p \vee q $£

In questo modo abbiamo legato l’implicazione alla disgiunzione ed alla negazione: £$ p \Rightarrow q = \overline p \vee q $£

Questo lo si può verificare mediante la tavola di verità:

£$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline P & \overline P \vee Q \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & F & F \\ \hline F & V & V & V & V \\ \hline F & F & V & V & V \\ \hline\end{array}$£

Come si vede la terza e la quinta colonna sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.

La proprietà dell’implicazione che lega negazione e congiunzione

Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la congiunzione?

Dalla proprietà che lega negazione e disgiunzione e dalle leggi di De Morgan possiamo ricavare direttamente la negazione con la congiunzione senza utilizzare le tavole di verità:

£$ P \Rightarrow Q= \overline P \vee Q= \overline P \vee \overline {\overline Q} = \overline {(P \wedge \overline Q)}$£

Otteniamo:

£$ P\Rightarrow Q = \overline {(P \wedge \overline Q)} $£

Ad esempio:

‘‘Se non mi invita, allora non vado.’’ £$=$£ ‘‘Non è che non mi invita e vado.’’

La transitività dell’implicazione

Come si legano 3 implicazioni?

Utilizziamo la proprietà transitiva:

£$ [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r) = V $£

Ad esempio:

Se £$p \Rightarrow q:$£

“Se c’è il sole, allora vado al mare”

£$q \Rightarrow r:$£

“Se vado al mare, allora porto il salvagente”

allora £$p \Rightarrow r$£:

“Se c’è il sole, allora porto il salvagente”.