L'implicazione materiale: definizione e proprietà
L’implicazione materiale è un concetto fondamentale nella logica e nella matematica, essenziale per comprendere come le proposizioni si relazionano tra loro in modi che riflettono il ragionamento deduttivo.
In termini semplici, un’implicazione materiale è una relazione tra due proposizioni, in cui la verità di una (l’antecedente) implica la verità dell’altra (il conseguente) e viene espressa tramite l’operatore “se… allora…".
Una caratteristica peculiare dell’implicazione materiale è che essa è considerata vera in tutti i casi, eccetto quando un antecedente vero porta a un conseguente falso. Questo significa che un’implicazione con un antecedente falso è automaticamente vera, indipendentemente dalla verità del conseguente, e una con un conseguente vero è sempre vera, indipendentemente dalla verità dell’antecedente.
- Proprietà dell'implicazione
- La negazione dell'implicazione
- La riflessività dell'implicazione
- La proprietà dell'implicazione che lega negazione e disgiunzione
- La proprietà dell'implicazione che lega negazione e congiunzione
- La transitività dell'implicazione
Proprietà dell’implicazione
L’implicazione materiale possiede diverse proprietà fondamentali che ne facilitano l’uso e la comprensione in contesti più ampi. Vediamo le più importanti:
- negazione;
- riflessività;
- mista £$1$£ (lega negazione e disgiunzione);
- mista £$2$£ (lega negazione e congiunzione);
- transitività.
Si scrivono così:
- £$ p \Rightarrow q = \overline q \Rightarrow \overline p$£;
- £$ p \Rightarrow p = V$£;
- £$ p \Rightarrow q = \overline p \vee q$£ ;
- £$ p \Rightarrow q = \overline{(p \wedge \overline q)}$£;
- £$[(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)= V$£.
La negazione dell’implicazione
Come si nega un’implicazione?
La proposizione £$ p \Rightarrow q $£ è equivalente a £$ \overline q \Rightarrow \overline p. $£
Ad esempio:
£$ P \Rightarrow Q$£: ‘‘Se è una zebra allora ha le strisce.’’
è equivalente a:
£$ \overline Q \Rightarrow \overline P $£: ‘‘Se non ha le strisce, allora non è una zebra!’’
Devo invertire £$P$£ con £$Q$£! Infatti se fosse £$ \overline P \Rightarrow \overline Q, $£ sarebbe:
“Se non è una zebra, allora non ha le strisce!" … Invece la tigre non è una zebra, ma ha le strisce!
Questo lo si dimostra utilizzando la tavola di verità:
£$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline Q & \overline P & \overline Q \Rightarrow \overline P \\ \hline V & V & V & F & F & V \\ \hline V & F & F & V & F & F \\ \hline F & V & V & F & V &V \\ \hline F & F & V & V & V & V \\ \hline\end{array}$£
Infatti la terza colonna e la sesta sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.
La riflessività dell’implicazione
La riflessività dell’implicazione: £$ \pmb{P}$£ implica se stessa? Sì!
£$ P \Rightarrow P = V $£ cioè è una tautologia.
Ad esempio:
£$ p \Rightarrow p $£ : “Se il mio gatto è bianco, allora è bianco!"
In questo caso la tabella è:
£$\begin{array}{|c|c|c|}\hline P & Q=P & P \Rightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}$£
La proprietà dell’implicazione che lega negazione e disgiunzione
Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la disgiunzione?
Esempio: ‘‘Se non sbaglio, Granada è in Spagna!’’
£$p \Rightarrow q$£
L’implicazione può essere riscritta utilizzando la negazione e la disgiunzione:
‘‘O mi sbaglio, o Granada è in Spagna!’’
£$ \overline p \vee q $£
In questo modo abbiamo legato l’implicazione alla disgiunzione ed alla negazione: £$ p \Rightarrow q = \overline p \vee q $£
Questo lo si può verificare mediante la tavola di verità:
£$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline P & Q & P \Rightarrow Q & \overline P & \overline P \vee Q \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & F & F \\ \hline F & V & V & V & V \\ \hline F & F & V & V & V \\ \hline\end{array}$£
Come si vede la terza e la quinta colonna sono uguali e quindi le espressioni sono equivalenti.
La proprietà dell’implicazione che lega negazione e congiunzione
Come trasformo l’implicazione in un’espressione equivalente che contiene la negazione e la congiunzione?
Dalla proprietà che lega negazione e disgiunzione e dalle leggi di De Morgan possiamo ricavare direttamente la negazione con la congiunzione senza utilizzare le tavole di verità:
£$ P \Rightarrow Q= \overline P \vee Q= \overline P \vee \overline {\overline Q} = \overline {(P \wedge \overline Q)}$£
Otteniamo:
£$ P\Rightarrow Q = \overline {(P \wedge \overline Q)} $£
Ad esempio:
‘‘Se non mi invita, allora non vado.’’ £$=$£ ‘‘Non è che non mi invita e vado.’’
La transitività dell’implicazione
Come si legano 3 implicazioni?
Utilizziamo la proprietà transitiva:
£$ [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r) = V $£
Ad esempio:
Se £$p \Rightarrow q:$£
“Se c’è il sole, allora vado al mare"
£$q \Rightarrow r:$£
“Se vado al mare, allora porto il salvagente"
allora £$p \Rightarrow r$£:
“Se c’è il sole, allora porto il salvagente".