Quali sono le proprietà della coimplicazione materiale
Le proprietà della coimplicazione materiale sono importanti perché la legano agli altri operatori e ci danno le “regole" per manipolare le proposizioni e scoprire ragionamenti validi, trovare equivalenze, negare proposizioni nel modo corretto! Ricordati che anche le proprietà dell’implicazione materiale sono importanti per questo scopo.
Le proprietà della coiimplicazione materiale sono molto interessanti perché legano la coimplicazione (se e solo se…) agli altri operatori (negazione e disgiunzione).
- Cos'è la coimplicazione materiale
- Proprietà della coimplicazione
- La negazione della coimplicazione
- La riflessività della coimplicazione
- La simmetria della coimplicazione
- La transitività della coimplicazione
Cos’è la coimplicazione materiale
La coimplicazione materiale è un concetto fondamentale nella logica proposizionale che esprime una relazione di equivalenza tra due enunciati. In simboli, si rappresenta come A↔B, dove A e B sono proposizioni. Questa relazione afferma che A è vero se e solo se B è vero, e viceversa.
In altre parole, entrambe le proposizioni devono avere lo stesso valore di verità: entrambe vere o entrambe false. La coimplicazione materiale è essenziale per la costruzione di definizioni precise e per l’analisi di argomentazioni logiche, poiché permette di stabilire condizioni necessarie e sufficienti per la verità di enunciati complessi.
Proprietà della coimplicazione
Anche la coimplicazione gode di alcune proprietà che seguono da quelle dell’implicazione:
- negazione;
- riflessività;
- simmetria:
- transitività.
Si scrivono così:
- £$(p \Leftrightarrow q)= (\overline p \Leftrightarrow \overline q) $£;
- £$(p \Leftrightarrow p)= V $£.
- £$p \Leftrightarrow q= q \Leftrightarrow p $£;
- £$ [(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r) = V$£.
La negazione della coimplicazione
La coimplicazione è facile da negare! Infatti la negazione della coimplicazione si ottiene facendo la coimplicazione delle due proposizioni negate:
£$ (p \Leftrightarrow q)= (\overline p \Leftrightarrow \overline q)$£:
£$p$£: “Questo è un triangolo isoscele"
£$q$£: “Questo triangolo ha due lati uguali"
£$p \Leftrightarrow q$£:
“Questo è un triangolo isoscele se e solo se ha due lati uguali"
La negazione è:
“Non è un triangolo isoscele se e solo se non ha due lati uguali"
La riflessività della coimplicazione
La riflessività della coimplicazione lega una proposizione con se stessa, quindi è una tautologia:
£$ (p \Leftrightarrow p)= V$£ ovvero, ogni proposizione è condizione necessaria e sufficiente di se stessa.
Ad esempio:
“il mio gatto è bianco se e solo se il mio gatto è bianco".
La simmetria della coimplicazione
La simmetria lega due proposizioni:
£$ (p \Leftrightarrow q) = (q \Leftrightarrow p) $£
Ad esempio:
£$p$£: “Questo poligono è un quadrilatero"
£$q$£: “Questo poligono ha quattro lati"
£$ p \Leftrightarrow q$£: “questo poligono è un quadrilatero se e solo se ha quattro lati"
£$ q \Leftrightarrow p$£: “questo poligono ha quattro lati se e solo se è un quadrilatero".
La transitività della coimplicazione
La transitività lega tre proposizioni:
£$ [(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \Rightarrow (p \Leftrightarrow r) = V$£
Ad esempio:
£$ p \Leftrightarrow q $£: “metto il salvagente se e solo se faccio il bagno"
e £$ q \Leftrightarrow r$£: “faccio il bagno se e solo se fa caldo"
Questo implica che:
£$ p \Leftrightarrow r$£ “Metto il salvagente se e solo se fa caldo"