Progressioni geometriche: relazioni e proprietà

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Scopri cosa sono le progressioni geometriche, le relazioni tra i termini di una progressione geometrica e le proprietà delle progressioni geometriche. Guarda la lezione, scopri le formule utili e supera tutti i livelli di esercizi svolti sulle progressioni geometriche!

Le progressioni geometriche sono una sequenza di numeri in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante. Questo rapporto è noto come la "ragione" della progressione geometrica. Come per le progressioni aritmetiche, anche le progressioni geometriche sono definite per ricorsione.

C’è quindi una relazione che lega ogni termine con il suo successivo. Vediamo insieme le caratteristiche e le proprietà delle progressioni geometriche.

Cosa sono le progressioni geometriche
Relazione tra i termini di una progressione geometrica
Proprietà delle progressioni geometriche
Esercizi sulle progressioni geometriche
Sfida sulle progressioni geometriche

Cosa sono le progressioni geometriche

Se £$a_{n}$£ è una progressione geometrica, allora la formula, o relazione, che lega un termine con il suo precedente (tranne il primo) è £$a_{n}=q\cdot a_{n-1}$£ dove £$q$£ è un numero fissato che viene chiamato ragione della progressione.

Quindi ogni termine (escluso il primo) è uguale al precedente moltiplicato per una costante. Il segno di £$q$£ ci dà le informazioni sul segno dei termini, infatti:

se £$q > 0$£ allora tutti i termini avranno lo stesso segno, uguale a quello del primo termine della progressione;
se £$ q < 0$£ i termini avranno segno alterno.

Ovviamente, se £$ q = 0 $£ abbiamo la progressione costante di zeri, che è poco interessante.

Esempi:

$2, 4, 8, 16, 32, \dots$ è una progressione geometrica con ragione $r = 2$ .
$5, - 10, 20, - 40, 80, \dots$ è una progressione geometrica con ragione $r = - 2$ .

Relazione tra i termini di una progressione geometrica

Se conosciamo il primo termine della progressione geometrica e la ragione £$q$£, il termine £$n-$£esimo della progressione £$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n-1}$£.

Allo stesso modo, se prendiamo due termini generici di indici £$p $£ e £$r$£ vale la relazione £$a_{p}=a_{r}\cdot q^{p-r}$£.

Proprietà delle progressioni geometriche

Per le progressioni aritmetiche sappiamo calcolare la somma dei primi £$n$£ termini della progressione. Per le progressioni geometriche vale la stessa cosa, ma col prodotto.

Quindi il prodotto dei primi £$n$£ termini della progressione geometrica £$a_{n}$£ è £$P_{n}=\sqrt{(a_{1}\cdot a_{n})^n}$£.

Esercizi sulle progressioni geometriche

Attraverso la risoluzione di questi esercizi, potrai migliorare non solo nel calcolo matematico, ma anche nella capacità di pensare logicamente e di applicare concetti matematici a problemi pratici e teorici.

Testo degli esercizi: