Progressioni aritmetiche: relazioni e proprietà
Tra le successioni numeriche, troviamo le progressioni aritmetiche. Cosa sono? Beh, innanzitutto sono successioni, quindi valgono tutti i discorsi già visti nella lezione precedente. Ma le progressioni aritmetiche hanno alcune proprietà in più. Vediamole insieme:
- Progressioni aritmetiche
- Relazioni tra i termini di una progressione
- Proprietà delle progressioni aritmetiche
Scopri le progressioni aritmetiche, le relazioni tra i termini di una progressione e le proprietà delle progressioni aritmetiche. Allenati con gli esercizi! Sono tutti esercizi spiegati.
- Cos'è una successione aritmetica
- Definizione di progressioni aritmetiche
- Relazione tra i termini di una progressione aritmetica
- Proprietà delle progressioni aritmetiche
- Esercizi sulle progressioni aritmetiche
Cos’è una successione aritmetica
Una successione aritmetica è una sequenza di numeri in cui la differenza tra termini consecutivi è costante. Questa differenza costante è chiamata ragione della successione. Per esempio, nella successione 2, 5, 8, 11, …, la ragione è 3, poiché ogni termine è ottenuto aggiungendo 3 al termine precedente.
Una progressione, in matematica, è un termine più generale che si riferisce a una sequenza di numeri con una specifica regola per passare da un termine al successivo. La successione aritmetica è un tipo di progressione chiamata "progressione aritmetica". Esistono anche altre forme di progressioni, come la progressione geometrica, in cui ogni termine è ottenuto moltiplicando il termine precedente per una costante chiamata ragione geometrica.
Le successioni aritmetiche e le progressioni sono strumenti fondamentali nell’analisi matematica e trovano applicazioni in numerosi campi, tra cui la fisica, l’economia e l’informatica, per modellare e risolvere problemi che implicano serie numeriche e pattern ricorrenti.
Definizione di progressioni aritmetiche
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Le progressioni aritmetiche sono delle successioni per cui è costante la differenza tra due termini consecutivi.
Sono definite per ricorsione, quindi il termine successivo dipende sempre dal valore del termine precedente.
Quindi se £$a_{n}$£ è una progressione aritmetica, possiamo scriverla in questo modo: £$a_{n}=a_{n-1}+d$£ dove £$d$£ è un numero che viene chiamato ragione della progressione. Vediamo subito che £$a_{n}-a_{n-1}=d$£ e questo vale per ogni coppia di termini consecutivi.
Relazione tra i termini di una progressione aritmetica
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Vediamo le relazioni tra i termini di una progressione aritmetica:
- £$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$£ quindi possiamo trovare il valore di ciascun termine velocemente, senza dover calcolare tutti i termini intermedi;
- se £$p$£ e £$ q$£ sono due indici della progressione, allora vale £$a_{p}=a_{q}+(p-q)d$£.
Proprietà delle progressioni aritmetiche
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Quanto vale la somma dei primi £$n$£ termini di una progressione aritmetica £$a_{n}$£ di ragione £$d$£? Semplice! Usiamo il simbolo di sommatoria:
£$S_n = \sum_{k=1}^{n}a_{k}=n\cdot \frac{a_{1}+a_{n}}{2}$£.
Esercizi sulle progressioni aritmetiche
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Ora che hai visto cos’è una progressione aritmetica e quali sono le sue proprietà, mettiti alla prova con questi esercizi per arrivare preparato all’interrogazione. Le successioni non saranno più un problema per te!