Successioni numeriche: definizione e proprietà
Le successioni numeriche sono una sequenza ordinata di numeri che seguono una regola o un pattern specifico, rappresentando uno degli strumenti matematici più versatili.
Queste sequenze, che possono essere definite tramite una formula esplicita o una relazione, sono fondamentali per l’analisi matematica, la teoria dei numeri, l’algebra e oltre, offrendo una finestra sul comportamento infinito e sulle proprietà dei numeri.
Scopri le successioni numeriche, come si rappresentano, i loro elementi e le proprietà.
In questa lezione vedrai:
- Definizione di successione
- Rappresentazione delle successioni
- Successioni monotone
- Successione delle somme
- Cos'è una successione
- Rappresentazione delle successioni
- Successioni monotone
- Successione delle somme
Cos’è una successione
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Una successione è una funzione che ha come dominio l’insieme £$\mathbb{N}$£ dei numeri naturali, oppure un suo sottoinsieme.
Ad ogni numero naturale £$n$£ del dominio, che chiamiamo indice della successione, associamo il suo valore £$a_n$£ che viene detto termine n-esimo della successione £$a$£.
Viene usata l’espressione £$a_n$£ invece di £$a(n)$£ tipico delle funzioni proprio per distinguere le successioni dalle funzioni con dominio l’insieme £$\mathbb{R}$£ (o un suo sottoinsieme).
Rappresentazione delle successioni
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Una successione ha infiniti termini. Possiamo rappresentarli elencandoli uno per uno (rappresentazione per elencazione) ma ha senso farlo solo per i primi termini.
La rappresentazione più comune è detta formula analitica, che è quella che usiamo di solito per le funzioni. Ad esempio, la successione £$a_n=n^2$£ associa ad ogni numero naturale il suo quadrato.
Alcune successioni sono definite per ricorsione, cioè il termine successivo è ottenuto dal precedente seguendo una regola che viene definita. A partire dal primo termine della successione è possibile trovare gli altri seguendo la regola. Un esempio è la successione di Fibonacci: ogni termine è uguale alla somma dei due termini che lo precedono. Basta definire i primi due e troviamo tutti gli altri.
Successioni monotone
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Come per le funzioni, anche le successioni possono essere monotone. Una successione è monotona se ciascun termine è maggiore del precedente, e in questo caso sarà monotona crescente, oppure se ogni termine è minore del termine che lo precede, e in questo caso sarà monotona decrescente.
Ovviamente, ci sono successioni che non sono monotone. Possono cioè crescere e poi decrescere o viceversa.
Successione delle somme
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Partiamo da una successione £$a_n$£. Cosa succede se sommiamo tutti i suoi termini? Creiamo una nuova successione. Infatti il primo termine della nuova successione sarà uguale ad £$a_{0}$£, il secondo sarà la somma di £$a_{0}$£ e £$a_{1}$£ e così via.
La nuova successione viene chiamata successione delle somme (parziali): ogni termine è uguale alla somma dei primi £$n$£ termini della successione "base". Per indicare questa somma (infinita), usiamo il simbolo di sommatoria £$\sum$£.
La successione delle somme £$s_n$£ ha quindi espressione £$s_{n}=\sum_{k=0}^{n}a_k$£.