Risolvere i triangoli: teorema dei seni e di Carnot
In trigonometria usiamo la goniometria per risolvere triangoli qualunque e poi poter applicare queste conoscenze e capacità alla risoluzione di problemi di trigonometria.
Oltre al teorema della corda ed a quello dell’area, altri due teoremi che possono essere usati per tutti i triangoli, e non solo per i triangoli rettangoli, sono il teorema dei seni ed il teorema del coseno.
- Il teorema dei seni ci permette di esprimere rapporti fra i lati di un triangolo qualunque ed il seno degli angoli opposti.
- Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot esprime un lato in relazione agli altri due ed al coseno dell’angolo fra essi compreso.
Il teorema dei seni e del coseno ci permettono di risolvere triangoli qualunque. Conoscendo tre elementi di un triangolo possiamo trovare gli altri 3. Gli elementi che servono per risolvere un triangolo, infatti, sono 6: 3 lati e 3 angoli!
- Formulario per risolvere i triangoli
- Teorema dei seni
- Teorema del coseno o di Carnot
- Risoluzione di un triangolo qualunque
- Ripassa per l'interrogazione sui triangoli
Formulario per risolvere i triangoli
Trigonometria e risoluzione di un triangolo qualunque - Teorema dei seni e di Carnot - Galleria
Ecco il formulario per ripassare le formule che hai visto nelle altre lezioni. Ti serviranno per affrontare al meglio questa lezione!
Teorema dei seni
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L’enunciato del teorema dei seni dice che il rapporto tra le misure dei due lati di un triangolo è uguale al rapporto tra i seni degli angoli opposti.
Se £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono i lati di un triangolo e £$\alpha$£, £$\beta$£ e £$\gamma$£ gli angoli compresi fra i lati £$b$£e £$c$£, £$c$£ e £$a$£, £$a$£ e £$b$£ rispettivamente, allora una formulazione del teorema dei seni è: £$ \frac{a}{b}=\frac{ sen \ \alpha}{sen \ \beta}$£ così come £$\frac{b}{c}=\frac{sen \ \beta}{sen \ \gamma}$£ e £$\frac{c}{a}=\frac{sen \ \gamma}{sen \ \alpha}$£.
Un’altra formulazione, equivalente, è espressa dalla seguente formula: £$ \frac{a}{sen \ \alpha}=\frac{b}{sen \ \beta}= \frac{c}{sen \ \gamma}$£.
Il teorema dei seni si dimostra sfruttando il teorema della corda più volte per tutti gli angoli di un triangolo inscritto.
Teorema del coseno o di Carnot
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Il teorema del coseno, detto anche teorema di Carnot, dice che in ogni triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati meno il doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo tra loro compreso.
Se £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono i lati di un triangolo e £$\alpha$£, £$\beta$£ e £$\gamma$£ gli angoli compresi rispettivamente fra £$b$£ e £$c$£, £$c$£ e £$a$£, £$a$£ e £$b$£, le relazioni espresse dal teorema del coseno sono:
- £$ a^2=b^2+c^2 -2 \ b \ c \ cos \ \alpha $£;
- £$ b^2=a^2+c^2-2 \ a \ c \ cos \ \beta $£;
- £$ c^2=a^2+b^2-2 \ a \ b \ cos \ \gamma $£.
La dimostrazione del teorema del coseno si fa tramite la prima relazione fondamentale della goniometria e il teorema di Pitagora.
Risoluzione di un triangolo qualunque
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Con il teorema dei seni e del coseno puoi risolvere triangoli qualunque, cioè puoi conoscere tutti i suoi elementi a partire da almeno 3 elementi conosciuti.
Per poter risolvere un triangolo con il teorema dei seni e del coseno devi conoscere almeno:
- un lato e due angoli;
- due lati e l’angolo compreso;
- due lati e un angolo (non compreso tra i lati);
- i tre lati.
Ripassa per l’interrogazione sui triangoli
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Prova a risolvere questi esercizi utilizzando il teorema del seno e il teorema del coseno o di Carnot.
Se hai dubbi, puoi sempre riguardare la lezione e allenarti con gli esercizi!