Le grandezze: commensurabili e incommensurabili

Il concetto di grandezze commensurabili e incommensurabili gioca un ruolo fondamentale nel modo in cui comprendiamo e misuriamo lo spazio che ci circonda.

Questi concetti risalgono all’antica Grecia, dove i matematici si imbatterono per la prima volta nella sorprendente scoperta che non tutte le grandezze geometriche possono essere misurate utilizzando la stessa unità di misura, né possono sempre essere espresse come il rapporto esatto tra due numeri interi.

Quali sono le grandezze geometriche e come si misurano? Come fare le operazioni fra grandezze geometriche? Cosa significa fare il confronto fra grandezze geometriche? Vuoi sapere cosa sono le grandezze commensurabili e incommensurabili? Studia con noi le grandezze geometriche e le loro caratteristiche!

• Cosa sono le grandezze geometriche
• Multipli e sottomultipli delle grandezze
• Grandezze commensurabili e incommensurabili
• Interrogazione sulle grandezze geometriche
• Sfida sulle grandezze commensurabili

Cosa sono le grandezze geometriche

Le grandezze geometriche sono, ad esempio: le lunghezze dei segmenti, le ampiezze degli angoli, le aree delle superfici. Due grandezze geometriche sono omogenee se appartengono alla stessa classe. Possiamo confrontare solo le grandezze che appartengono a una stessa classe.

Tra grandezze omogenee possiamo anche eseguire operazioni:

• Somma e differenza tra grandezze omogenee danno come risultato una grandezza anch’essa omogenea a quelle di partenza.
• Prodotto e quoziente tra grandezze omogenee danno come risultato una grandezza non omogenea a quelle di partenza.

Consideriamo alcune grandezze tipiche con cui avrai a che fare molto spesso: le lunghezze dei segmenti, le ampiezze degli angoli, le aree delle superfici. Raggruppiamo in un insieme:

• Tutti i segmenti tra loro congruenti;
• Tutti gli angoli tra loro congruenti;
• Tutte le superfici piane tra loro equivalenti.

Ogni insieme si chiama classe di equivalenza. Possiamo quindi dire:

• La lunghezza di un segmento è la classe di equivalenza a cui il segmento appartiene;
• L’ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza a cui l’angolo appartiene;
• L’area di una superficie è la classe di equivalenza a cui la superficie appartiene.

Misurare una grandezza significa confrontare la grandezza con un campione scelto come unità di misura. In un insieme di grandezze omogenee scegliamo una grandezza £$u$£ che sarà l’unità di misura o campione.
Le unità di misura più comuni per i segmenti sono i centimetri, i metri, ecc.

Multipli e sottomultipli delle grandezze

Studiamo ora alcune caratteristiche delle grandezze omogenee.
Prendiamo due grandezze omogenee £$A$£ e £$B$£.
Se c’è un numero naturale £$n$£ per cui £$B = nA$£, diciamo che:

• £$B$£ è multiplo di £$A$£
• £$A$£ è sottomultiplo di £$B$£.

Grandezze commensurabili e incommensurabili

Grandezze commensurabili

Grandezze incommensurabili

Due grandezze omogenee £$A$£ e £$B$£ sono commensurabili se c’è una grandezza omogenea £$C$£ che è sottomultipla comune alle due grandezze.

Possiamo anche dire che due grandezze sono commensurabili se esiste un numero razionale, cioè una frazione £$ \frac{m}{n}$£ per cui £$A= \frac{m}{n}B$£

£$A$£ e £$B$£ sono grandezze incommensurabili se non esiste una grandezza omogenea che sia sottomultipla comune.

Quindi non esiste una frazione £$\frac{m}{n}$£ per cui £$A=\frac{m}{n}B$£ con £$m$£ e £$n$£ naturali qualunque e £$n \ne 0$£.

Interrogazione sulle grandezze geometriche

Ora che hai studiato cosa sono le grandezze geometriche, la loro misura e il significato di commensurabili o incommensurabili non ti resta che prepararti per l’interrogazione o la verifica di domani! Rispondi alle domande che trovi nel video e poi fai gli esercizi!

Sfida sulle grandezze commensurabili

Sfida:

Soluzione:

Hai capito bene qual è la differenza tra grandezze commensurabili e incommensurabili? Se sì non avrai alcun problema a risolvere la sfida! Se ti senti incerto, riguarda i video e poi fai gli esercizi.