Teorema dell'angolo esterno: enunciato e dimostrazione

Impara ad utilizzare il Teorema dell’angolo esterno ("in un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso") e i suoi 3 corollari. Scopri come utilizzare la relazione fra lati e angoli di un triangolo.

Vuoi sapere che relazione c’è fra lati e angoli di un triangolo e quali caratteristiche hanno gli angoli esterni? Ci sono due grandi teoremi che potranno rispondere alla tua domanda:

• Teorema dell’angolo esterno e corollari: quale è l’enunciato, la dimostrazione ed i corollari del teorema dell’angolo esterno
• Relazione fra lati e angoli di un triangolo e corollari: quale è l’enunciato, la dimostrazione ed i corollari del teorema che esprime la relazione fra angoli e lati di un triangolo

• Teorema dell'angolo esterno e corollari
• Quali sono le relazioni tra lati e angoli
• Interrogazione sul teorema dell'angolo esterno
• Sfida sulle relazioni angoli-lati di un triangolo

Teorema dell’angolo esterno e corollari

Ecco una proprietà dei triangoli molto utile per risolvere i problemi:
"In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso".

Per dimostrare il teorema dell’angolo esterno, dobbiamo considerare una mediana alla volta, la prolunghiamo di un segmento congruente alla mediana e applichiamo il primo criterio di congruenza dei triangoli in modo da analizzare uno per volta tutti gli angoli esterni in relazione a quelli interni.

Dal teorema dell’angolo esterno, possiamo dedurre i seguenti tre corollari:

1. la somma di due angoli interni di un triangolo è sempre < di un angolo piatto di 180°;
2. in un triangolo due angoli sono sempre acuti, ovvero un triangolo non può avere due o più angoli retti o ottusi, perché altrimenti la loro somma sarebbe = o > a un angolo piatto (in contrasto con il punto precedente);
3. gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti, perché essendo congruenti e non potendo essere entrambi retti o ottusi, non possono che essere acuti.

Quali sono le relazioni tra lati e angoli

Ecco un’altra interessante proprietà:
"in ogni triangolo che non sia equilatero a lato maggiore si oppone angolo maggiore".
Per dimostrare questa proprietà consideriamo un triangolo qualsiasi, sul lato più lungo costruiamo poi un triangolo isoscele e usiamo il teorema dell’angolo esterno per far vedere che a lato maggiore si oppone angolo maggiore.

Vale anche l’inverso del teorema appena visto:
"in ogni triangolo non equilatero, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore".
Da quest’ultima proprietà, possiamo dedurre i seguenti due corollari:

• in ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è maggiore di ciascun cateto (essendo opposta all’angolo retto, che sarà sempre il maggiore dei tre);
• in ogni triangolo ottusangolo il lato opposto all’angolo ottuso è maggiore degli altri due.

Esiste anche una relazione fra i lati di un triangolo: "in ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza".

Infine, possiamo dire che se due triangoli hanno due lati ordinatamente congruenti e l’angolo compreso diverso, il terzo lato sarà maggiore nel triangolo con l’angolo compreso maggiore.

Interrogazione sul teorema dell’angolo esterno

Sai enunciare il teorema dell’angolo esterno? Sai quali sono le relazioni tra lati e angoli di un triangolo? Mettiti alla prova rispondendo alle domande dell’interrogazione!

Sfida sulle relazioni angoli-lati di un triangolo

Sfida:

Soluzione:

Capitano Uncino vuole costruire una nuova bandiera triangolare in modo che il primo lato sia il doppio del secondo che a sua volta è il doppio del terzo. Ci riuscirà? Provaci anche tu e poi guarda la soluzione alla sfida!