Le proprietà delle radici quadrate: quali sono

Le radici quadrate sono un concetto fondamentale in matematica, con applicazioni che vanno dall’algebra alla geometria, fino ad arrivare a campi più avanzati come l’analisi e la teoria dei numeri. L’operazione di radice quadrata permette di trovare un numero che, moltiplicato per se stesso, dia come risultato il numero dato ed è per questo che è anche conosciuta come l’inverso dell’elevamento a potenza. Ad esempio, la radice quadrata di 16 è 4, perché 4 al quadrato è 16.

Una delle proprietà più importanti delle radici quadrate è la loro relazione con i numeri irrazionali. Quando si cerca la radice quadrata di numeri che non sono quadrati perfetti, si ottengono numeri irrazionali, che non possono essere espressi esattamente come frazioni. La radice quadrata di 2, ad esempio, è un numero irrazionale, il che significa che ha un numero infinito di cifre dopo la virgola senza alcun pattern ripetitivo.

Cosa sono le radici quadrate

La radice £$n$£-esima è l’operazione inversa della potenza con esponente £$n$£. Gli elementi principali sono il radicando, il radicale e l’indice di radice.

Per calcolare le radici consultiamo le tavole numeriche oppure sfruttiamo la scomposizione in fattori primi.

£$\sqrt[n]{a} = b$£ equivale a scrivere £$a = b^n$£

Ricorda! La radice quadrata di un numero si indica con £$\sqrt a $£, senza indicare l’indice di radice.

Esempio: £$\sqrt 4 = 2$£ equivale a scrivere £$2^2 = 4$£.

Trasporto di fattori sotto il segno di radice quadrata

Per trasportare un fattore sotto il segno di radice, moltiplichiamo l’esponente del fattore per l’indice di radice:

$$b \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a \cdot b^{1 \cdot n}} = \sqrt[n]{a \cdot b^n} $$

Esempio: £$2 \cdot \sqrt 3 = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt {12}$£

Trasporto di fattori fuori dal segno di radice quadrata

Per trasportare un fattore fuori dal segno di radice, dividiamo l’esponente del radicando per l’indice della radice:

$$\sqrt[n]{(a \cdot b^n)} = b^{\frac{n}{n}} \cdot \sqrt[n]{a} = b \cdot \sqrt[n]{a}$$

Esempio: £$\sqrt {18} = \sqrt{2 \cdot 3^2} = 3^{\frac 22} \cdot \sqrt 2 = 3 \cdot \sqrt 2$£

Prodotto tra radici quadrate

Il prodotto tra due radici con lo stesso indice di radice è un radicale che ha ancora lo stesso indice di radice e per radicando il prodotto dei radicandi:

$$\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {a \cdot b}$$

Esempio: £$\sqrt 5 \cdot \sqrt 3 = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$£

Quoziente tra radici quadrate

Il quoziente tra due radici con lo stesso indice di radice è un radicale che ha ha ancora lo stesso indice di radice e per radicando il quoziente dei radicandi:

$$\sqrt a : \sqrt b = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

Esempio: £$\sqrt 8 : \sqrt 4 = \sqrt{\dfrac{8 }{4}} = \sqrt 2$£

Addizione e sottrazione tra radicali simili con stesso indice di radice e radicando

Due radicali sono simili se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando.

Per esempio £$\sqrt a$£ è simile a £$2\sqrt a$£, ma non è simile a £$3\sqrt b$£.

La somma tra due radicali simili è un radicale che ha per coefficiente la somma dei coefficienti dei due radicali iniziali:

$$m\sqrt a + q\sqrt a = (m + q)\sqrt a$$

Esempio: £$5\sqrt 3 + 19\sqrt 3 = (5 + 19)\sqrt 3 = 24\sqrt 3$£

La differenza tra due radicali simili è un radicale che ha per coefficiente la differenza dei coefficienti dei due radicali iniziali:

$$b\sqrt a – d\sqrt a = (b – d)\sqrt a$$

Esempio: £$95\sqrt{17} – 85\sqrt{17} = (95 – 85) \sqrt{17} = 10\sqrt{17}$£

Tabella sulle proprietà delle radici

Consulta la tabella con le proprietà delle radici e delle operazioni tra radici.