I triangoli: la classificazione in base a lati e angoli
La classificazione dei triangoli è un argomento fondamentale della geometria, che permette di comprendere e analizzare le proprietà e le relazioni tra vari tipi di triangoli. I triangoli possono essere classificati in base alla lunghezza dei loro lati e alle misure dei loro angoli, ognuno dei quali rivela caratteristiche uniche e applicazioni specifiche.
In base alla lunghezza dei lati, i triangoli possono essere divisi in tre categorie principali: equilateri, isosceli e scaleni. Un triangolo equilatero ha tutti e tre i lati della stessa lunghezza e, di conseguenza, tutti e tre gli angoli uguali, ciascuno di 60 gradi. I triangoli isosceli hanno almeno due lati della stessa lunghezza e i due angoli opposti a questi lati sono uguali. I triangoli scaleni, d’altra parte, non hanno lati di uguale lunghezza e tutti i loro angoli sono di misura diversa.
Per quanto riguarda la classificazione in base agli angoli, i triangoli si dividono in acutangoli, rettangoli e ottusangoli. Un triangolo acutangolo ha tutti e tre gli angoli acuti, cioè meno di 90 gradi. Un triangolo rettangolo ha un angolo retto, esattamente di 90 gradi, e due angoli acuti. Infine, un triangolo ottusangolo ha un angolo ottuso, maggiore di 90 gradi, e due angoli acuti.
Vediamole insieme nel dettaglio.
- Cosa sono i triangoli: la definizione
- La classificazione dei triangoli in base ai lati
- La classificazione dei triangoli in base agli angoli
- Costruire un triangolo in base alla classificazione
- Interrogazione sui triangoli
- Sfida sulla definizione di triangolo
Cosa sono i triangoli: la definizione
Dovresti già aver imparato che cos’è un triangolo… Lo dice la parola stessa!
Un triangolo è un poligono con tre angoli… e tre lati!
Il triangolo di vertici £$ A $£, £$ B $£ e £$ C $£ si può indicare con il simbolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£.
£$ AB $£, £$ BC $£ e £$ CA $£ sono i lati del triangolo.
£$ \hat{A} $£, £$ \hat{B} $£ e £$ \hat{C} $£ sono gli
angoli interni del triangolo.
Il triangolo è un poligono speciale, infatti è il poligono che ha il minore numero di lati possibile.
Non è possibile costruire un poligono con solo uno o due lati! Non riusciamo a disegnare una linea spezzata chiusa usando solo due segmenti.
Il triangolo viene usato spesso nelle costruzioni per renderle più… rigide e indeformabili. Avendo solo tre lati, è una figura rigida, quindi più resistente perché non può cambiare forma.
Pensa a come è fatta la struttura di una gru, oppure la Tour Eiffel!
Un po’ di terminologia del mestiere:
- i vertici sono i punti estremi dei tre lati (A,B,C): in pratica, dove due lati si incontrano;
- un vertice è opposto ad un lato se non appartiene al lato stesso: ad esempio C è opposto ad AB;
- ogni lato avrà dunque due vertici che vi appartengono e uno opposto.
Due lati di un triangolo formano un angolo interno, con:
- per vertice il vertice del triangolo;
- per lati le semirette che contengono i lati del triangolo.
Un angolo interno si dice:
- compreso fra due lati quando i lati dell’angolo contengono i lati del triangolo;
- adiacente quando solo uno dei due lati dell’angolo contiene un lato del triangolo.
Gli angoli esterni di un triangolo sono quelli adiacenti agli angoli interni, che hanno quindi come primo lato un lato dell’angolo interno e come secondo lato il prolungamento dell’altro lato dell’angolo interno.
Ci sono sempre due angoli esterni per ogni angolo interno: sono quelli compresi fra un lato del triangolo e il prolungamento dell’altro.
Bisettrice, mediana, altezza
La bisettrice è il segmento che:
- divide un angolo interno in due angoli uguali e
- termina sul lato ad esso opposto.
La mediana è il segmento che:
- parte da un vertice e
- termina nel punto medio del lato opposto.
L’altezza è il segmento che:
- parte da un vertice e
- arriva al lato opposto (o al prolungamento del lato opposto)
- formando due angoli retti.
Il lato opposto viene chiamato “base a cui l’altezza si riferisce". In ogni triangolo abbiamo: 3 lati, 3 bisettrici, 3 mediane e 3 altezze: il tre è proprio il numero magico dei triangoli!
La classificazione dei triangoli in base ai lati
La classificazione dei triangoli in base ai lati
I triangoli possono essere classificati rispetto ai lati: a seconda del numero di lati uguali da cui sono composti, prendono un nome diverso.
Un triangolo scaleno è un triangolo che ha i lati tutti diversi tra loro.
Un triangolo di questo tipo è un semplice poligono con tre lati, non ha nessuna proprietà particolare.
Quando negli esercizi ti chiedono di disegnare un triangolo qualsiasi, disegna un triangolo scaleno!
Un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati congruenti.
Di solito i lati congruenti sono i lati obliqui e l’altro lato è la base. Gli angoli interni adiacenti alla base si chiamano angoli alla base e sono congruenti. Nella figura, £$ \hat{A} $£ e £$ \hat{B} $£ sono angoli alla base, £$ \hat{A} \cong \hat{B} $£.
Un triangolo equilatero è un triangolo che ha tutti e tre i lati congruenti.
Un triangolo equilatero è anche equiangolo e quindi è regolare!
La classificazione dei triangoli in base agli angoli
La classificazione dei triangoli in base agli angoli
I triangoli possono essere classificati non solo rispetto ai lati, ma anche rispetto agli angoli.
Un triangolo acutangolo è un triangolo con tre angoli acuti, cioè minori di un angolo retto (£$ 90^\circ $£).
Un triangolo rettangolo è un triangolo che ha un angolo è retto (£$ 90 ^\circ $£). Il lato maggiore, che è opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa. Gli altri due lati si chiamano cateti.
Un triangolo ottusangolo è un triangolo che ha un angolo ottuso cioè maggiore di un angolo retto (£$90 ^\circ $£).
Costruire un triangolo in base alla classificazione
Somma minore
Differenza maggiore
Prendiamo tre segmenti di tre lunghezze diverse. Possiamo sempre costruire un triangolo? La risposta è no!
Ad esempio, non è possibile costruire un triangolo con i lati di £$ 10 \text{ cm} $£, £$ 5 \text{ cm} $£ e £$ 4 \text{ cm} $£. Prova a fare un disegno, è impossibile costruire una linea spezzata chiusa con questi tre lati! Perché? La misura di un lato deve sempre essere minore della somma degli altri due.
Ma £$ 10\text{ cm} > 5\text{ cm}+ 4\text{ cm}= 9\text{ cm} $£.
Un altro triangolo impossibile da costruire è quello con i lati di £$ 2 \text{ cm} $£, £$ 6 \text{ cm} $£ e £$ 10 \text{ cm} $£. Fai un’altra prova: anche in questo caso, non riusciamo a disegnare una linea spezzata chiusa. Perché? La misura di un lato deve sempre essere maggiore della differenza degli altri due.
Ma [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] 2\text{ cm}
Ma allora quando possiamo costruire un triangolo? Riusciamo a disegnare un triangolo quando sono rispettate due condizioni: ciascun lato deve essere contemporaneamente maggiore della differenza tra gli altri due e minore della loro somma. Se chiamiamo £$ a $£ la misura del lato minore di un triangolo, £$ c $£ la misura del lato maggiore, e £$ b $£ la misura dell’altro lato, allora:
[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] b-a
[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] c-b
[iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] c-a
Il perimetro di un triangolo è la somma delle misure dei suoi tre lati, quindi £$ \text{perimetro }= p = a + b + c $£.
Un triangolo isoscele ha due lati congruenti, quindi £$ \text{perimetro }= p =\text{ base }+\text{ lato obliquo}\cdot 2 $£.
Un triangolo equilatero ha i lati tutti congruenti quindi £$ \text{perimetro }= p =\text{ lato }\cdot 3 $£.
La somma degli angoli interni di un triangolo
Un triangolo è un poligono con tre angoli. Abbiamo visto che non possiamo sempre costruire un triangolo con tre segmenti qualsiasi, ma che devono rispettare determinate proprietà. Anche gli angoli interni di un triangolo hanno una proprietà fondamentale: la loro somma è sempre un angolo piatto, cioè £$ 180^\circ $£. Non possiamo disegnare triangoli con la somma degli angoli interni maggiore o minore di un angolo piatto.
Chiamiamo £$ \alpha, \beta $£ e £$ \gamma $£ i tre angoli di un triangolo e sappiamo che vale sempre la relazione: £$ \alpha+\beta+\gamma =180^\circ $£.
Questa importante proprietà ci permette di fare alcune osservazioni interessanti.
- Un triangolo equilatero è anche equiangolo, cioè ha tutti gli angoli uguali. La somma degli angoli è £$ 180^\circ $£, allora gli angoli di un triangolo equilatero hanno un’ampiezza di £$ 180^\circ : 3=60^\circ $£.
- Un triangolo non può avere due angoli retti, infatti se £$ \alpha =\beta= 90^\circ$£, allora £$ \gamma=180^\circ- (\alpha + \beta) =180^\circ- (90^\circ + 90^\circ) = 0^\circ $£. È impossibile disegnare un triangolo del genere!
- Per la stessa ragione, un triangolo non può avere due angoli ottusi! La somma di due angoli ottusi è già maggiore di £$ 180^\circ $£, quindi non riusciamo a disegnare un triangolo fatto in questo modo.
Interrogazione sui triangoli
Cosa ti chiederà domani il prof nell’interrogazione? Prova a rispondere alle domande sui triangoli che trovi in questo video! Poi allenati con gli esercizi!
Sfida sulla definizione di triangolo
Sfida:
Soluzione:
Che tipo di triangoli sono le bandiere delle scialuppe di capitan Uncino? Scoprilo leggendo la sfida! Se hai ancora dubbi su come classificare un triangolo riguarda i video e poi fai gli esercizi!