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Il primo e il secondo teorema di Euclide: formule e definizione

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

I teoremi di Euclide, generalmente associati al matematico greco Euclide, sono un insieme di proposizioni e conclusioni fondamentali nella geometria euclidea. Euclide ha raccolto e sistematizzato queste conoscenze nel suo famoso trattato, gli “Elementi“, che per secoli è stato il testo di riferimento per l’insegnamento della matematica.

A che cosa servono i criteri di similitudine dei triangoli? Ci permettono di dimostrare i teoremi di Euclide. Vediamo le proprietà dei triangoli simili e alcune dimostrazioni!

Questi teoremi sono fondamentali non solo in geometria, ma anche in molte altre aree della matematica e delle sue applicazioni. Vengono utilizzati per risolvere problemi che riguardano le misure, le proporzioni e le relazioni spaziali in geometria piana e spaziale. La loro importanza risiede nella capacità di fornire una base logica e sistematica per la comprensione delle proprietà geometriche e delle loro relazioni reciproche.

Vediamoli insieme!

Vuoi testare la tua preparazione? Prova il nostro quiz!

I triangoli rettangoli e i teoremi di Euclide

CH CH altezza relativa all’ipotenusa


Caratteristiche dei tre triangoli

I teoremi di Euclide, così come il teorema di Pitagora, parlano di triangoli rettangoli.

Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC \stackrel{\triangle}{ABC} retto in C C . L’ipotenusa è il lato AB AB e l’altezza relativa all’ipotenusa è CH CH . Il punto H H divide l’ipotenusa in due parti:

  • AH AH è la proiezione del cateto AC AC sull’ipotenusa;
  • HB HB è la proiezione del cateto CB CB sull’ipotenusa.

Quanti triangoli rettangoli riesci a vedere nella figura così tracciata? Ben 3! Il primo triangolo è ABC \stackrel{\triangle}{ABC} . L’altezza CH CH divide questo triangolo in altri due triangoli rettangoli. Gli angoli retti hanno vertice in H H . Il triangolo ACH \stackrel{\triangle}{ACH} ha come ipotenusa AC AC e come cateti CH CH e AH AH . Il triangolo BCH \stackrel{\triangle}{BCH} ha come ipotenusa BC BC e come cateti CH CH e BH BH .

I triangoli rettangoli ABC \stackrel{\triangle}{ABC} , ACH \stackrel{\triangle}{ACH} e BCH \stackrel{\triangle}{BCH} hanno sempre due angoli congruenti, quello retto e un altro angolo, quindi sono simili!

Proprietà dei triangoli simili

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      Se due triangoli sono simili, valgono le seguenti proprietà:

      • il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto tra due lati omologhi;
      • il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto tra due lati omologhi;
      • il rapporto tra le basi è uguale al rapporto tra le altezze.

      Dimostriamo solo l’ultima proprietà applicando il primo criterio di similitudine.

      Primo teorema di Euclide: enunciato e dimostrazione

      Enunciato


      Dimostrazione
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          Abbiamo visto che, tracciando l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC \stackrel{\triangle}{ABC} retto in C C , otteniamo due nuovi triangoli rettangoli simili a quello di partenza, ACH \stackrel{\triangle}{ACH} e BCH \stackrel{\triangle}{BCH} .

          Se confrontiamo i due triangoli ABC \stackrel{\triangle}{ABC} e ACH \stackrel{\triangle}{ACH} , il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti minori. Se confrontiamo i due triangoli ABC \stackrel{\triangle}{ABC} e BCH \stackrel{\triangle}{BCH} , il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Triangoli simili hanno lati corrispondenti in proporzione. Allora possiamo rappresentare queste relazioni utilizzando proprio le proporzioni:

          • AB:AC=AC:AH AB : AC = AC : AH ;
          • AB:BC=BC:BH AB : BC = BC : BH .

          Ricordi come si chiama l’elemento che in una proporzione occupa entrambe le posizioni dei medi? È il medio proporzionale!

          Possiamo enunciare allora il primo teorema di Euclide:

          In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

          Ma ecco un’interpretazione geometrica interessante di questo teorema… Ricordi la proprietà fondamentale delle proporzioni? Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo riscrivere le due proporzioni nel modo seguente:

          • AC2=ABAH AC^2=AB\cdot AH ;
          • BC2=ABBH BC^2=AB\cdot BH .

          AC2 AC^2 è l’area del quadrato costruito sul lato AC AC e ABAH AB\cdot AH è l’area di un rettangolo di lati AB AB e AH AH. BC2 BC^2 è l’area del quadrato costruito sul lato BC BC e ABBH AB\cdot BH è l’area di un rettangolo di lati AB AB e BH BH.

          Possiamo riscrivere il primo teorema di Euclide così:

          In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

          Primo teorema con le similitudini

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              Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo, un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

              Si può dimostrare tramite il primo criterio di similitudine dei triangoli.

              Secondo teorema di Euclide: enunciato e dimostrazione

              Enunciato


              Dimostrazione
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                  Confrontiamo ora i due triangoli ACH \stackrel{\triangle}{ACH} e BCH \stackrel{\triangle}{BCH} . Anch’essi sono simili! Quindi, il rapporto tra i cateti minori è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Possiamo rappresentare questa relazione utilizzando le proporzioni: AH:CH=CH:BH AH : CH = CH : BH . Questa volta è l’altezza CH CH ad essere medio proporzionale.

                  Possiamo enunciare allora il secondo teorema di Euclide:

                  In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

                  Anche in questo caso possiamo trovare un’interessante interpretazione geometrica riscrivendo la proporzione in questo modo: CH2=AHBH CH^2=AH\cdot BH .

                  CH2 CH^2 è l’area del quadrato costruito sull’altezza CH CH e AHBH AH\cdot BH è l’area di un rettangolo di lati AH AH e BH BH.

                  Possiamo riscrivere il secondo teorema di Euclide così:

                  In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni del cateti sull’ipotenusa.

                  Le formule inverse del secondo teorema di Euclide

                  Le formule inverse del secondo teorema di Euclide sono:

                  AH=CH2BH\overline{AH}=\dfrac{\overline{CH}^2}{\overline{BH}} BH=CH2AH\overline{BH}=\dfrac{\overline{CH}^2}{\overline{AH}}

                  Secondo teorema con le similitudini

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                      Secondo Teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo, l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

                      Per la dimostrazione applichiamo il primo criterio di similitudine e la proprietà transitiva.

                      La tabella riassuntiva del primo e secondo teorema di Euclide

                      Hai bisogno di ripassare? Allenati con la nostra tabella e fai esercizio!

                      Ripassa per l’interrogazione sui teoremi di Euclide

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                          Imparare ad applicare i teoremi di Euclide con le similitudini è importantissimo: ti saranno molto utili negli esercizi!

                          Prova a rispondere alle domande dell’interrogazione e poi corri ad allenarti con gli esercizi!

                          Sfida sui teoremi di Euclide

                          Sfida:

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                              Soluzione:

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                                  Un cono di gelato base costa 2,5 euro. Ti conviene far pagare 5 euro il cono più grande, che ha tutte le dimensioni raddoppiate? Pensa ai coni come a dei triangoli isosceli e usa i teoremi di Euclide per le similitudini!