Prove Invalsi di matematica 2024: ripasso

La preparazione alle prove Invalsi del 2024 richiede una solida comprensione di vari concetti matematici fondamentali, dato che queste valutazioni mirano a testare le competenze e le conoscenze acquisite dagli studenti nel corso degli anni scolastici. Per affrontare al meglio queste prove, è cruciale ripassare e consolidare alcuni temi chiave della matematica che spesso costituiscono la base delle domande presenti nei test.

Tra i concetti fondamentali da ripassare, troviamo i numeri e le loro proprietà, inclusi i numeri interi, razionali, irrazionali e reali, oltre alla capacità di lavorare con numeri positivi e negativi, e la comprensione del concetto di valore assoluto. Questi concetti sono importanti per navigare attraverso vari tipi di problemi matematici e per applicare correttamente le operazioni aritmetiche.

La frazioni, i decimali e le percentuali sono anche temi cruciali, con un’enfasi particolare sulla conversione tra queste forme, la comprensione del loro significato e l’uso in contesti pratici, come il calcolo di sconti, interessi e proporzioni. Queste competenze sono frequentemente testate nelle prove INVALSI e richiedono una buona capacità di ragionamento e applicazione.

Vediamo insieme alcuni dei temi più importanti.

• I numeri naturali per le invalsi
• I numeri relativi e gli insiemi numerici
• Rappresentazioni grafiche
• Dati e previsioni nelle invalsi
• La divisibilità
• Porsi e risolvere un problema nelle invalsi
• Le frazioni
• Radice quadrata
• Elementi di calcolo algebrico per le invalsi 2024
• Funzioni e loro rappresentazione

I numeri naturali per le invalsi

L’insieme dei numeri naturali, indicato con £$\mathbb{N}$£, comprende tutti i numeri interi da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] in poi.

All’interno dell’insieme £$\mathbb{N}$£ riconosciamo i numeri pari £$(2, 4, 6, …)$£, cioè tutti i multipli di £$ 2 $£, e i numeri dispari £$(1,3,5, …)$£, cioè tutti quelli che non sono divisibili per £$ 2 $£.

Nell’insieme dei numeri naturali possiamo svolgere l’addizione e la moltiplicazione senza alcuna eccezione. La sottrazione e la divisione, invece, sono operazioni più delicate: possiamo svolgere la sottrazione in £$ \mathbb{N} $£ solo se il primo numero (minuendo) è maggiore del secondo (sottraendo); possiamo svolgere la divisione in £$ \mathbb{N} $£ solo se il primo numero (dividendo) è multiplo del secondo (divisore), cioè solo se il risultato della divisione è ancora un numero naturale.

I numeri relativi e gli insiemi numerici

L’insieme dei numeri naturali £$\mathbb{N}$£ è l’insieme di tutti i numeri interi da £$ in poi. Nell’insieme dei numeri naturali si possono svolgere l’addizione e la moltiplicazione senza eccezioni. La sottrazione, invece, non è un’operazione interna all’insieme [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] \mathbb{N} $£: si può svolgere solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. Vale lo stesso anche per la divisione: si può svolgere solo se il dividendo è multiplo del divisore.

Nell’insieme dei numeri relativi £$\mathbb{Z}$£ ci sono tutti i numeri con segno, cioè positivi e negativi: tutti i numeri naturali da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/] in poi, e i numeri negativi, più piccoli dello [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]. La sottrazione è un’operazione interna a questo insieme: nei numeri relativi possiamo sempre sommare, moltiplicare e sottrarre qualsiasi elemento dell’insieme. La divisione, invece, si può svolgere solo se dividendo e divisore sono multipli.

L’insieme dei numeri razionali £$\mathbb{Q}$£ contiene tutti i numeri che si possono ottenere come rapporto di due numeri, per esempio le frazioni. Per questo la divisione è un’operazione interna a questo insieme: nei numeri razionali è possibile svolgere qualsiasi operazione. La divisione tra due numeri interi qualsiasi è una frazione, e le frazioni sono elementi dei numeri razionali.

Esistono poi i numeri irrazionali, che sono quelli che non si possono scrivere sotto forma di frazioni o numeri interi: per esempio le radici, oppure £$\pi$£. Sono cioè quei numeri decimali con infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono con regolarità. L’insieme che comprende i numeri razionali e irrazionali è l’insieme dei numeri reali e si indica con £$\mathbb{R}$£.

Rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche ci aiutano con l’analisi e il ragionamento in statistica. Di solito affiancano le tabelle in cui raccogliamo i dati osservati durante un’indagine statistica. Conosciamo diversi tipi di grafici: solitamente rappresentano la frequenza assoluta oppure la frequenza relativa e percentuale di ciascun dato.

L’istogramma è un grafico a barre verticali: l’altezza di ciascuna colonna indica la frequenza con cui ritroviamo il dato nella tabella il dato che rappresenta.
Il diagramma a settori circolari è un cerchio: il cerchio intero rappresenta il £$100 \%$£, ogni settore colorato rappresenta la percentuale di ciascun dato rispetto al totale.
Grazie ai grafici, possiamo capire l’andamento di un’indagine statistica a colpo d’occhio: le immagini ci aiutano a confrontare i dati in modo immediato, senza bisogno di doverli leggere nella tabella.

Dati e previsioni nelle invalsi

In matematica la probabilità e la statistica si occupano di raccogliere dei dati, analizzarli e fare delle previsioni.

I dati sono solitamente schematizzati tramite delle tabelle, che possiamo costruire analizzando il fenomeno.
Con tutti i dati disponibili possiamo fare delle previsioni sul comportamento futuro di un certo fenomeno, o su quando e come si potrebbe verificare un evento.

Analizziamo dei dati e facciamo delle previsioni quando lanciamo un dado e scommettiamo che esca un numero preciso, oppure quando vogliamo stimare il numero di lampadine difettose su £$1000$£ prodotte sapendo che la macchina ne fa una difettosa ogni £$44$£.

Il calcolo delle probabilità, quindi, permette di fare scommesse sugli avvenimenti futuri.

La divisibilità

Un numero naturale £$a$£ è divisibile per un altro numero naturale £$b$£ se £$b$£ è multiplo di £$a$£.

Per esempio £$135$£ può essere scritto come prodotto in diversi modi:
£$135=3^3 \cdot 5$£ oppure £$135=3 \cdot 45$£, ciò significa che è £$135$£ è divisibile per £$3$£, £$5$£, £$45$£, £$3^3=27$£.

Per capire se un numero è divisibile per un altro possiamo scomporlo in fattori come abbiamo fatto nell’esempio precedente, oppure fare la divisione e verificare che il resto sia uguale a zero. A volte, però, le fattorizzazioni e le divisioni sono lunghe e complicate, quindi, per capire se un numero è divisibile per un altro possiamo utilizzare delle scorciatoie, chiamate criteri di divisibilità.

I criteri di divisibilità sono dei modi per riconoscere subito se un numero è divisibile per un altro. I più conosciuti ed utilizzati sono:

• divisibilità per £$2$£: un numero è divisibile per £$2$£ se la sua ultima cifra a destra è £$ oppure è un numero pari. Per esempio, [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]6$£, £$124$£, £$170$£ sono tutti numeri divisibili per £$2$£;
• divisibilità per £$3$£ e per £$9$£: un numero è divisibile per £$3$£ o per £$9$£ quando la somma delle sue cifre è divisibile per £$3$£ o, rispettivamente, per £$9$£, cioè è un multiplo di £$3$£ o di £$9$£. Per esempio, £$123$£ è divisibile per £$3$£ perché £$1+2+3=6$£, £$2574$£ è divisibile per sia per £$3$£ che per £$9$£ perché £$2+5+7+4=18$£, che è divisibile sia per £$3$£ che per £$9$£;
• divisibilità per £$5$£: un numero è divisibile per £$5$£ quando l’ultima cifra a destra è £$ oppure è [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]5$£. Per esempio, £$45$£, £$1115$£, £$780$£ sono tutti numeri divisibili per £$5$£.

Porsi e risolvere un problema nelle invalsi

Fare una torta con gli ingredienti nelle giuste proporzioni, stimare il numero di donne e uomini in una conferenza, distribuire la marmellata in un certo numero di barattoli, dosare giustamente le medicine della nonna…
Sono tutti problemi che possono far parte della quotidianità e che risolviamo, anche senza accorgercene, con la matematica.

Per trovare la soluzione ad un problema di matematica quotidiana è bene procedere così:

• analizzare il problema: analizza bene i dati del problema chiedendoti quali di questi sono utili e quali superflui. Poniti il problema come se lo stessi vivendo in prima persona;
• trovare la strategia migliore: chiediti cosa puoi fare con i dati a tua disposizione e studia la strategia migliore, cioè quella più breve, tramite la quale puoi fare calcoli più brevi e più semplici;
• risolvere il problema: trova la soluzione del problema sviluppando la strategia che hai scelto.

Le frazioni

Una frazione è un numero che esprime una quantità dividendo un intero in un certo numero di parti uguali.
Le frazioni non sono altro che quozienti: scriviamo £$a:b$£ come £$\frac{a}{b}$£. Il numero che sta sopra la linea, cioè £$a$£, si chiama numeratore, quella che sta sotto, cioè £$b$£, si chiama denominatore. La linea si chiama linea di frazione.

Le frazioni sono:

• proprie quando il numeratore è minore del denominatore. Rappresentano un numero minore di £$1$£;
• improprie quando il numeratore è maggiore del denominatore. Rappresentano un numero maggiore di £$1$£;
• apparenti quando il numeratore è multiplo del denominatore. Rappresentano un numero intero.

In tutte le frazioni, se numeratore e denominatore hanno divisori comuni, questi possono essere semplificati, riducendo così la frazione ai minimi termini. Le frazioni che esprimono le stesse parti dell’intero, cioè quelle che ridotte ai minimi termini sono uguali, si dicono equivalenti.

Quando una frazione è maggiore o minore di un’altra?
Per confrontare le frazioni possiamo:

• ridurle allo stesso denominatore: scriviamo le frazioni equivalenti a quelle date in modo che abbiano lo stesso denominatore. È maggiore la frazione con il numeratore maggiore;
• ridurle allo stesso numeratore: scriviamo le frazioni equivalenti a quelle date in modo che abbiano lo stesso numeratore. È maggiore la frazione con il denominatore minore.

Radice quadrata

La radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato.

£$\sqrt{9}$£ è la radice quadrata di £$9$£, ed è uguale a £$3$£. £$\sqrt{}$£ è il simbolo di radice quadrata, £$9$£ si chiama radicando, £$ \sqrt{9} $£ è il radicale. £$3$£ è il risultato perché è quel numero che, elevato al quadrato, dà il radicando £$9$£, infatti £$3^2=9$£.

Tutte quelle radici che sono uguali a numeri interi sono delle radici perfette.

Ci sono casi in cui non riusciamo a trovare il numero intero che elevato al quadrato dà il radicando. In questi casi lasciamo indicata la radice quadrata. Per esempio £$\sqrt{5}$£ non è uguale ad un numero intero e non si può semplificare ulteriormente.

Le proprietà più importanti della radice quadrata sono due:

• prodotto di radici: il prodotto di due radici quadrate è uguale ad una nuova radice quadrata che ha per radicando il prodotto dei due radicandi. Per esempio £$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{8 \cdot 2}=\sqrt{16}=4$£;
• quoziente di radici: il quoziente di due radici quadrate è uguale ad una nuova radice quadrata che ha per radicando il quoziente dei due radicandi. Per esempio £$\sqrt{18}:\sqrt{2}=\sqrt{18:2}=\sqrt{9}=3$£ o, equivalentemente, £$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$£.

Elementi di calcolo algebrico per le invalsi 2024

L’aritmetica è quella parte della matematica che si studia i numeri, le operazioni e le proprietà delle operazioni.

La geometria, invece, è quella parte della matematica che si occupa del mondo che ci circonda studiando le forme del piano e dello spazio.

In matematica, poi, c’è l’algebra, che fa il primo passaggio verso l’astrazione, quindi si occupa ancora delle operazioni, degli insiemi e degli insiemi numerici, ma in maniera più generale.

Con l’algebra possiamo generalizzare le proprietà studiate in aritmetica o generalizzare le formule di geometria e risolvere problemi per cui non conosciamo i valori specifici di ogni dato.

Per risolvere i problemi con l’algebra sfruttiamo gli elementi di calcolo algebrico, come per esempio il calcolo letterale.

Esempio: il peso di £$3$£ pere è uguale al peso di £$9$£ mele sommato a quello di £$6$£ arance. Chiamiamo le pere £$p$£, le mele £$m$£ e le arance £$a$£ e scriviamo questo problema grazie all’algebra: £$3p=9m+6a$£. A partire da questa espressione che contiene lettere e numeri possiamo trovare, per esempio, la relazione tra tutte le variabili.

Funzioni e loro rappresentazione

Una funzione è una legge matematica che lega due variabili, solitamente chiamate £$x$£ e £$y$£.
Scriviamo la funzione £$ f $£ in questo modo: £$y=f(x)$£. Significa che per ogni valore di £$x$£, ne ottengo uno ed uno solo di £$y$£. £$x$£ è la variabile indipendente mentre £$y$£ è la variabile dipendente, perché il suo valore dipende da quello della £$x$£.

Attenzione! Per ogni £$x$£ deve esserci una sola £$y$£, altrimenti non possiamo parlare di funzione matematica!

Esempio: £$y=2x$£ è una funzione che, a partire da un numero £$x$£, ci restituisce un altro numero £$y$£, che è esattamente il doppio di £$x$£. Se £$x=1$£ allora £$y=2 \cdot 1=2$£; se £$x=3$£ allora £$y=2 \cdot 3=6$£.

Le funzioni possono essere rappresentate nel piano cartesiano. Tutte le £$x$£ e le rispettive £$y$£ che otteniamo sono le coordinate dei punti della funzione: unendo tutti questi punti troviamo il grafico della funzione.
Esempio: la funzione £$y=2x$£ passerà per i punti £$A(1;2)$£ e £$B(3;6)$£.

Viceversa è possibile risalire alla legge matematica analizzando il grafico. Dal grafico possiamo trovare alcuni punti, inserire in una tabella le loro coordinate e trovare la relazione che lega la £$y$£ e la £$x$£: questa relazione è proprio la funzione £$y=f(x)$£.

In fisica le funzioni sono molto usate insieme ai loro grafici. Le ritroviamo, per esempio, per analizzare il moto di un corpo. Guardando il grafico possiamo capire il comportamento di un fenomeno oppure le caratteristiche del moto e poi risalire alla legge matematica che le governa!