Formulario di fisica: i decadimenti radioattivi
Da sempre l’uomo ha cercato di comprendere i segreti della natura, e una delle sue più grandi sfide è stata quella di decifrare il tempo, non solo in termini di ore e giorni, ma in termini di ere geologiche e di millenni. Tra gli strumenti più potenti che abbiamo per sondare le profondità del tempo c’è il fenomeno della radioattività e, in particolare, il processo di datazione radioattiva.
La radioattività è un fenomeno naturale che vede alcuni atomi instabili, detti radioisotopi, trasformarsi spontaneamente in atomi differenti, rilasciando nel processo particelle e/o radiazioni. Queste trasformazioni sono intrinsecamente legate al cuore stesso degli atomi: il nucleo. Il decadimento di questi radioisotopi avviene secondo ritmi ben definiti, che possono variare da frazioni di secondo a miliardi di anni. È proprio questa prevedibilità che rende la radioattività uno strumento prezioso per sondare il passato.
La datazione radioattiva sfrutta la natura "a orologio" del decadimento radioattivo. Prendendo come esempio il radioisotopo carbonio-14, presente in quantità traccia nell’atmosfera e assorbito dagli organismi viventi, al momento della morte dell’organismo, l’assorbimento cessa. Da quel momento, il carbonio-14 inizia a decadere verso l’azoto-14 a un ritmo costante, noto come "tempo di emivita". Misurando la quantità residua di carbonio-14 e confrontandola con la quantità originale, è possibile determinare l’età dell’organismo morto con una notevole precisione.
La datazione radioattiva ha rivoluzionato campi come l’archeologia, la paleontologia e la geologia. Ci ha permesso di datare manufatti antichi, di stabilire l’età di fossili di dinosauri e di comprendere la cronologia degli eventi geologici che hanno plasmato il nostro pianeta.
Scopriamone le formule principali!
- Datazione radioattiva
- Decadimento £$\alpha$£
- Decadimento £$\beta^-$£
- Decadimento £$\beta^+$£
- Decadimento £$\gamma$£
- Definizione di attività di una sorgente radioattiva
- Definizione di emivita o periodo di dimezzamento
- Descrizione dei decadimenti radioattivi
- La legge del decadimento radioattivo
Datazione radioattiva
Dal comportamento statistico del materiale radioattivo, conoscendo la costante di decadimento, il numero di nuclei attivi alla data £$t$£, cioè £$N(t)$£, e il numero £$N_0$£ della popolazione di nuclei presenti al tempo iniziale £$t=0$£, è possibile determinare la datazione di un campione del materiale. Il tempo £$t$£ della datazione è:
$$t= \left| {{-\frac{1}{\lambda} \ln{\frac{N}{N_0}}}}\right|$$
Si può risalire all’età di un campione misurando l’attività attuale £$A$£, conoscendo l’attività iniziale £$A_0$£ e la costante di decadimento £$\lambda$£:
$$A = A_0 e^{-\lambda t}$$
$$t=\left| {{-\frac{1}{\lambda} \ln{\frac{A}{A_0}}}} \right|$$
Decadimento £$\alpha$£
Il nucleo £$X$£ si trasforma in £$Y$£ liberando una particella £$\alpha$£:
$$_Z^A X_N \rightarrow _{Z-2}^{A-4} Y_{N-2} + \alpha$$
Decadimento £$\beta^-$£
Il nucleo £$X$£ si trasforma in £$Y$£ con emissione di un elettrone (particella £$\beta^-$£) e di un antineutrino elettronico:
$$_Z^A X_N \rightarrow _{Z+1}^A Y_{N-1} + e^{-}+ \overline \nu_e$$
Decadimento £$\beta^+$£
Il nucleo £$X$£ si trasforma in £$Y$£ con emissione di un positrone (particella £$\beta^+$£) e di un neutrino elettronico:
$$_Z^A X_N \rightarrow _{Z-1}^A Y_{N+1} + e^{+} + \nu_e$$
Decadimento £$\gamma$£
Il nucleo £$X$£ è eccitato e decade in uno stato stabile senza trasmutazioni ma con emissione di radiazione £$\gamma$£:
$$_Z^A X ^{*} \rightarrow _Z^A X+ \gamma$$Definizione di attività di una sorgente radioattiva
L’attività di una sorgente radioattiva è data dal numero medio di disintegrazioni £$N(t)$£ al secondo del campione radioattivo:
$$A=-\frac{dN(t)}{dt}=\frac{N_0 e^{-\frac{t}{\tau}}}{\tau}$$
Maggiore è il numero di nuclei radioattivi presenti £$N(t)$£, maggiore è l’attività, che decresce invece all’aumentare di £$\tau$£.
Nel S.I. l’attività di una sorgente radioattiva si misura in becquerel (Bq): 1 Bq = 1 decadimento/s.
Più l’attività di una sorgente è grande e più essa è potenzialmente pericolosa.
Definizione di emivita o periodo di dimezzamento
Il periodo di dimezzamento o emivita è l’intervallo di tempo necessario perché la massa del materiale radioattivo si dimezzi, cioè metà dei nuclei decadano. Tale condizione si verifica quando £$N(t) = \frac{N_0}{2}$£.
$$T_{1/2}= \tau \ln 2 = \frac{\ln2}{\lambda} $$
Descrizione dei decadimenti radioattivi
Il decadimento radioattivo è una trasformazione spontanea di un nucleo £$X$£ in un altro nucleo £$Y$£ più leggero, con emissione di particelle o radiazione elettromagnetica.
Questa reazione nucleare, detta anche trasmutazione, può essere indotta artificialmente, bombardando nuclei stabili di elementi pesanti con neutroni.
La legge del decadimento radioattivo
Dato un numero £$N_0$£ di nuclei di un isotopo radioattivo, essi decadono nel tempo £$t$£ secondo la legge:
$$N(t)=N_0 e^{-\frac{t}{\tau}}= N_0 e^{-\lambda t}$$dove: £$N(t)$£ sono i nuclei che non sono ancora decaduti al tempo £$t$£; £$\tau$£ è la vita media dell’elemento radioattivo, misurata in secondi; £$\lambda=\frac{1}{\tau}$£, espressa in £$s^{-1}$£, è la costante di decadimento ed è caratteristica dell’isotopo.