Formulario di fisica: il moto armonico semplice
Chiunque abbia mai osservato il dondolio di un pendolo o le vibrazioni di una corda di chitarra pizzicata ha avuto un assaggio diretto di questo fenomeno: esso rappresenta una classe di moti oscillatori in cui un oggetto si muove avanti e indietro attorno a una posizione di equilibrio stabile, seguendo una traiettoria ben definita e regolare.
Caratterizzato da una serie di proprietà uniche, il moto armonico semplice si distingue per la sua periodicità e la sua simmetria. Gli oggetti in moto armonico semplice, come un pendolo o una molla, oscilleranno avanti e indietro attraverso la stessa distanza a intervalli regolari, offrendo un esempio perfetto di un sistema in equilibrio dinamico.
Le formule associate al moto armonico semplice ci permettono di descrivere con precisione l’andamento temporale dell’oggetto, la sua velocità, l’accelerazione e l’energia associata al movimento. Con queste equazioni, possiamo prevedere non solo come si muoverà un oggetto, ma anche come reagirà a variazioni esterne, come un cambiamento nell’ampiezza o nella frequenza delle oscillazioni.
Scopriamone insieme le formule principali!
- Definizione di moto armonico semplice
- Equazione del moto armonico semplice
- Moto armonico semplice della forza elastica
- La legge oraria del moto armonico semplice
- Moto armonico del pendolo semplice
- Moto armonico smorzato
Definizione di moto armonico semplice
Se un punto £$P$£ si muove di moto circolare uniforme, la sua proiezione su un diametro della traiettoria si muove di moto armonico semplice.
Equazione del moto armonico semplice
La relazione tra £$a(t)$£ e £$x(t)$£ rappresenta l’equazione del moto armonico semplice:
$$a(t) = – \omega^2 x(t)$$
Nel caso in cui £$a(t)$£ e £$x(t)$£ soddisfano questa relazione, si ha un moto armonico semplice.
Moto armonico semplice della forza elastica
L’accelerazione di un corpo soggetto a una forza elastica, £$F=-kx$£, è direttamente proporzionale allo spostamento £$x$£ rispetto alla sua posizione di equilibrio nella direzione del moto. Quindi il suo è un moto armonico. Da cui:
$$a=-\frac{k}{m} x \qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$
La legge oraria del moto armonico semplice
Se il diametro scelto sta sull’asse £$x$£, la legge oraria del moto armonico semplice è:
$$x(t)=A \cos(\omega t)$$
dove £$A$£ è l’ampiezza del moto £$(m)$£, £$\omega$£ la pulsazione £$\left( \dfrac{rad}{s} \right)$£ con £$\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$£, £$T$£ il periodo del moto £$(s)$£ e £$f$£ la frequenza £$(s^{-1}$£ o £$Hz)$£.
Dalla legge oraria si deducono la velocità e l’accelerazione:
{v(t)= \dfrac{dx(t)}{dt}= -A\omega \sin(\omega t)} \\
{a(t)= \dfrac{d^2 x(t)}{dt^2} = -A \omega^2 \cos(\omega t)}
\end{array}\right.[/iol_placeholder]
Moto armonico del pendolo semplice
È un esempio di moto armonico semplice anche quello di un pendolo semplice, per piccole oscillazioni:
$$a=-\frac{g}{l} x \qquad \omega=\sqrt{\frac{g}{l}} \qquad T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$Moto armonico smorzato
La presenza di una forza esterna resistente che ostacola l’oscillazione produce uno smorzamento e il moto armonico diventa moto armonico smorzato.
La forza smorzante (per esempio la resistenza del mezzo) è direttamente proporzionale alla velocità £$\vec v$£ e diretta in verso opposto:
$$\vec F_{sm} = – b \vec v$$dove £$b$£ è la costante di smorzamento che dipende dalle caratteristiche fisiche del mezzo.
La seconda legge di Newton per un sistema su cui agiscono la forza elastica £$\vec F_e = – k \vec x$£ e la forza smorzante £$\vec F_{sm}=-b\vec v$£, espressa in forma scalare, è:
$$-bv -kx = ma$$che in forma differenziale è:
$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx =0$$la cui soluzione è:
$$x(t)=x_m e^{-\frac{bt}{2m}} \cos (\omega_{sm} t + \phi)$$dove £$x_m$£ è l’ampiezza dell’oscillazione, £$\omega_{sm}$£ è la pulsazione dell’oscillatore smorzato e £$\phi$£ è la posizione angolare iniziale £$ \big( $£spesso si assume il sistema di riferimento in cui £$\phi=0$£ e £$\omega_{sm}=\sqrt{\frac{k}{m} – \frac{b^2}{4m^2}} \big)$£.