Formulario di fisica: il lavoro
Il concetto di "lavoro" in fisica è fondamentale per comprendere le basi stesse della meccanica e dell’energia; quando parliamo di lavoro in un contesto quotidiano, spesso ci riferiamo a compiti e attività. In fisica, tuttavia, il lavoro ha una definizione ben precisa: rappresenta la quantità di energia trasferita da una forza quando si sposta un oggetto lungo una certa distanza. L’intuitiva percezione che "fare qualcosa" richieda un certo sforzo trova la sua fondamentale rappresentazione matematica in questo concetto.
Connessi strettamente al lavoro, troviamo altri due concetti cruciali: l’energia e la potenza. L’energia può essere vista come la capacità di compiere un lavoro: si tratta di una grandezza conservativa, il che significa che, anche se può trasformarsi da una forma all’altra (ad esempio, da potenziale a cinetica), la sua quantità totale in un sistema isolato rimane costante. La potenza, invece, si riferisce al tasso con cui viene compiuto il lavoro o, in altre parole, alla velocità con cui viene trasferita l’energia.
Vediamone insieme le formule principali!
- Definizione di energia cinetica
- Definizione di energia potenziale
- Definizione di potenza
- Energia potenziale elastica
- Energia potenziale gravitazionale
- Lavoro di una forza costante
- Lavoro di una forza variabile
- Principio di conservazione dell'energia meccanica
- Teorema dell'energia cinetica o delle forze vive
- Teorema lavoro-energia
Definizione di energia cinetica
Un corpo di massa £$m$£ che si muove con velocità £$\vec v$£ possiede un’energia cinetica, associata al moto, definita come:
$$E_C=\frac{1}{2}mv^2$$Definizione di energia potenziale
Una forza è detta conservativa quando il lavoro compiuto nello spostamento dell’oggetto è indipendente dalla traiettoria seguita per compiere lo spostamento e in questo caso può essere espresso come variazione dell’energia potenziale cambiata di segno:
$$L=U_A-U_B=-\Delta U$$L’energia potenziale £$U(\vec r)$£ di un oggetto è una grandezza funzione della posizione dell’oggetto stesso ed è definibile solo per campi di forze conservativi e dipende dal tipo di forza conservativa.
Definizione di potenza
La potenza è il lavoro compiuto (o assorbito) nell’unità di tempo:
$$P=\frac{dL}{dt}= \vec F \cdot \vec v$$Nel S.I. la potenza si misura in Watt £$ \left( W=\frac{J}{s} \right) $£.
Energia potenziale elastica
L’energia potenziale elastica di una molla di costante elastica £$k \ \left( \frac{N}{m} \right) $£, compressa o allungata di un valore £$x$£ è:
$$U_{el}=\frac{1}{2} kx^2$$Energia potenziale gravitazionale
L’energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa £$m$£ posto in un campo gravitazionale ad un’altezza £$h$£ rispetto al suolo o al livello di riferimento è:
$$U_g = mgh$$ dove si è posto il valore dell’energia potenziale gravitazionale del livello di riferimento uguale a £$ ([iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]h_0=0\rightarrow mgh_0=0$£).
Lavoro di una forza costante
Il lavoro di una forza costante £$\vec F$£ agente su un punto materiale £$P$£ che compie uno spostamento £$\Delta \vec s\,$£ è dato dal prodotto scalare:
$$L=\vec F \cdot \Delta \vec s= F \cdot \Delta s \cdot \cos\alpha$$dove £$\alpha$£ è l’angolo compreso tra i vettori £$\vec F$£ e £$ \Delta \vec s$£. Nel S.I. il lavoro si misura in Joule (£$J$£).
Lavoro di una forza variabile
Se la forza non è costante, il lavoro della forza è dato dall’area sottesa dal grafico della forza in funzione dello spostamento.
$$L=\int_{a}^{b} \vec F \cdot d \vec s = \int_{a}^{b} F_s \cdot ds$$dove £$F_s$£ è la componente della forza parallela allo spostamento.
Il lavoro è nullo quando la forza £$\vec F$£ è perpendicolare allo spostamento £$\Delta \vec s$£.
Principio di conservazione dell’energia meccanica
Nel caso di forze conservative si ha:
£$L=U_A-U_B$£, ma £$L=E_C^B-E_C^A$£, dunque £$U_A+E_C^A= U_B+E_C^B=cost$£.
L’energia meccanica $$E = E_C + U$$ di un corpo in movimento, in assenza di forze dissipative, si mantiene costante.
Teorema dell’energia cinetica o delle forze vive
Il lavoro fatto dalla risultante delle forze che agiscono su un punto materiale è uguale alla variazione della sua energia cinetica:
$$L=\Delta E_C=\frac{1}{2} m v_B^2 – \frac{1}{2} m v_A^2$$dove £$v_A$£ e £$v_B$£ sono le velocità nello stato iniziale e finale.
Se £$L>0$£, £$\Delta E_C>0$£ e il corpo acquista energia, quindi £$v_B> v_A$£, cioè la velocità della particella aumenta.
Se £$L<0$£, £$\Delta E_C<0$£ e il corpo perde energia, quindi £$v_B< v_A$£, cioè la velocità della particella diminuisce. Il teorema dell’energia cinetica vale sempre per qualsiasi forza e per qualsiasi moto.
Teorema lavoro-energia
In presenza di forze non conservative, come forze di attrito, il lavoro £$L_a$£ compiuto da queste forze è dato dalla variazione dell’energia meccanica totale:
$$L_a= \Delta E_c + \Delta U$$