Formulario di fisica: le equazioni di Maxwell

Le quattro equazioni di Maxwell, formulate nell’ambito dell’elettromagnetismo, sono il fondamento su cui si basa gran parte della tecnologia moderna, dalla radiocomunicazione alla risonanza magnetica, e hanno aperto la strada a una delle scoperte più rivoluzionarie del XX secolo: la teoria della relatività di Einstein.

James Clerk Maxwell, un fisico scozzese del XIX secolo, fu il primo a formulare queste equazioni, che descrivono come cariche e correnti generano e sono influenzate dai campi elettrici e magnetici. Le equazioni di Maxwell unificano l’elettricità e il magnetismo in una singola teoria coerente, rivelando che si tratta di due aspetti della stessa forza fondamentale: l’elettromagnetismo. Questa scoperta ha gettato le basi per la comprensione di fenomeni come le onde elettromagnetiche, che includono tutto, dalla luce visibile alle onde radio.

In un mondo dove l’elettricità e la comunicazione a distanza sono diventate indispensabili, la rilevanza delle equazioni di Maxwell non può essere sottovalutata. Ripetiamo insieme le formule principali che vedono coinvolte queste equazioni!

• Legge di Ampere-Maxwell
• Legge di Faraday-Neumann
• Teorema di Gauss per il campo elettrico
• Teorema di Gauss per il campo magnetico

Legge di Ampere-Maxwell

$$C(\vec B)=\mu_0 (i+\epsilon_0 \frac{d\Phi(\vec E)}{dt})$$
La circuitazione del campo magnetico lungo un percorso chiuso è uguale alla corrente che attraversa la superficie delimitata dalle linee del percorso, moltiplicata per la permeabilità magnetica del vuoto a cui va sommata la corrente di spostamento definita dalla variazione del flusso del campo elettrico attraverso la superficie delimitata dalla linea chiusa moltiplicata per la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto.

Per la simmetria tra campo elettrico e campo magnetico nelle equazioni di Maxwell, un campo elettrico variabile genera un campo magnetico variabile, il quale genera un altro campo elettrico variabile, e così via. Si genera così una perturbazione elettromagnetica che si propaga nello spazio sotto forma di onda elettromagnetica.
Le equazioni di Maxwell riscritte in forma differenziale e risolte per i campi £$\vec E$£ e £$\vec B$£ hanno come soluzioni funzioni sinusoidali del campo elettromagnetico che si propaga nello spazio sotto forma di onde elettromagnetiche.

Legge di Faraday-Neumann

$$C(\vec E)= -\frac{d\Phi(\vec B)}{dt}$$
La circuitazione del campo elettrico lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale alla variazione del flusso del campo elettromagnetico, attraverso la superficie delimitata dalle linee chiuse del percorso, nel tempo. Da ciò segue che il campo elettrico indotto non è conservativo.

Teorema di Gauss per il campo elettrico

$$\Phi_{\vec s_c}(\vec E)=\frac{\sum_i Q_i}{\epsilon_0}$$
Il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica totale presente all’interno della superficie fratto la costante dielettrica del vuoto. Ciò descrive la caratteristica peculiare del campo elettrico di avere le linee di campo aperte.

Teorema di Gauss per il campo magnetico

$$\Phi_{\vec s_c}(\vec B)=0$$
Il flusso del campo magnetico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale a zero. Ciò descrive la caratteristica peculiare del campo magnetico di avere le linee di campo chiuse.