Formulario di fisica: le trasformazioni di Lorentz
Ci sono pochi concetti che hanno rivoluzionato la nostra comprensione dello spazio e del tempo come le trasformazioni di Lorentz. Queste formule matematiche, sviluppate nell’ambito della teoria della relatività ristretta di Einstein, rappresentano un pilastro fondamentale nella descrizione del comportamento degli oggetti che si muovono vicino alla velocità della luce. Hanno sfidato e ulteriormente approfondito la nostra comprensione dell’interazione tra spazio e tempo, spingendo i limiti della nostra percezione e dando forma a molte delle scoperte scientifiche moderne.
Scopriamo insieme le formule più importanti!
Cosa sono le trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Lorentz rappresentano un insieme di equazioni matematiche utilizzate per descrivere come le coordinate spaziali e temporali di un evento cambiano da un sistema di riferimento all’altro, quando questi sistemi si muovono l’uno rispetto all’altro a velocità prossime a quella della luce. Le equazioni prendono il nome dal fisico olandese Hendrik Lorentz, che le sviluppò alla fine del XIX secolo.
Nella fisica classica, prima della relatività ristretta, si riteneva che lo spazio e il tempo fossero assoluti e separati. Tuttavia, Einstein dimostrò che lo spazio e il tempo sono interconnessi in un continuum quadridimensionale noto come “spaziotempo“. Le trasformazioni di Lorentz esprimono esattamente come le coordinate di un evento in questo spaziotempo cambiano in base al sistema di riferimento dell’osservatore.
In termini semplici, queste trasformazioni mostrano come le misure di lunghezza e tempo possano apparire diverse a osservatori in movimento relativo. Per esempio, un oggetto in movimento veloce potrebbe apparire accorciato nella direzione del movimento per un osservatore esterno, mentre il tempo stesso potrebbe sembrare dilatato. Questi effetti, sebbene controintuitivi, sono stati confermati sperimentalmente e rappresentano una manifestazione diretta della natura relativistica del nostro universo.
Definizione di trasformazioni di Lorentz
H.A. Lorentz scrisse le trasformazioni tra due sistemi di rifermento inerziali con effetti relativistici prima che Einstein sviluppasse la teoria della relatività; egli procedette per via teorica e formulò delle relazioni per le quali le equazioni di Maxwell risultassero invarianti.
Dati due sistemi di riferimento inerziali £$S$£ e £$S’$£, con £$S’$£ in moto traslatorio uniforme con velocità £$\vec v$£ rispetto a £$S$£, le coordinate di un punto P sono uguali a £$(x,y,z,t)$£ in £$S$£ e £$(x’,y’,z’,t’)$£ in £$S’$£. Supponiamo per semplicità che gli assi £$y$£ e £$z$£ siano paralleli a £$y’$£ e £$z’$£ e che l’asse £$x$£ coincida con £$x’$£ che sia parallelo alla velocità £$\vec v$£, come illustrato in figura.
All’istante iniziale coincidono le origini dei due sistemi (£$O=O’$£) e il tempo (£$t=t’=0$£).
Le trasformazioni di Lorentz e le trasformazioni inverse tra le coordinate dei due sistemi sono le seguenti:
$$\left\{ \begin{array}{ll} x’=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma (x-vt) \\ y’=y\\ z’=z\\ t’=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma (t-\frac{\beta}{c}x) \end{array} \right. $$ $$ \left\{ \begin{array}{ll} x=\frac{x’+vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma (x’+vt’) \\ y=y’\\ z=z’\\ t=\frac{t’+\frac{v}{c^2}x’}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \gamma (t’+\frac{\beta}{c}x’) \end{array} \right. $$
dove si è posto: $$\beta=\frac{v}{c} \quad \text{e} \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$$