Come si risolvono le disequazioni di secondo grado
Le disequazioni di secondo grado sono un capitolo fondamentale dell’algebra che estende il concetto di equazioni quadratiche al territorio delle disuguaglianze.
A differenza delle equazioni, che cercano valori esatti, le disequazioni di secondo grado, cioè le disuguaglianze con l’incognita al quadrato, esprimono la soluzione come un intervallo (o più) di valori.
In questa video lezione imparerai:
- Soluzioni delle disequazioni di II grado: trovare le soluzioni tramite la parabola associata
- Casi particolari: casi in cui la parabola associata alla disequazione non interseca l’asse £$x$£
- Riassunto: breve riassunto di tutti i casi che si trovano risolvendo una disequazione di secondo grado con il metodo grafico
- Che cos'è una disequazione di secondo grado
- Come studiare una disequazione scritta come prodotto
- Come si risolve una disequazione di secondo grado
- Come si risolvono graficamente le disequazioni di secondo grado
- Interrogazione sulle disequazioni di secondo grado
Che cos’è una disequazione di secondo grado
Una disequazione di II grado è una disuguaglianza in cui il grado massimo dell’incognita £$x$£ è due.
La soluzione di una disequazione di II grado sono gli intervalli (uno o più di uno) dei valori che sostituiti all’incognita rendono la disequazione una disuguaglianza vera.
Come studiare una disequazione scritta come prodotto
Per studiare il segno di un polinomio bisogna studiare il segno del prodotto, cioè significa stabilire in quali intervalli il segno è positivo, negativo e in quali punti si annulla.
Per studiare il segno di un polinomio segui alcuni passaggi:
- Scomponi il polinomio in fattori di grado inferiore, più semplici da studiare;
- Studia separatamente il segno di ciascun fattore;
- Costruisci una tabella dei segni ed esegui i prodotti di segno in ogni intervallo;
- Controlla la richiesta della disequazione (£$ < $£ o £$ > $£, eventualmente anche con il segno di £$ = $£) e seleziona gli intervalli corretti.
Come si risolve una disequazione di secondo grado
Vedrai adesso come puoi interpretare graficamente lo studio del segno di un trinomio di II grado.
Hai già visto che risolvere l’equazione di secondo grado equivale a trovare i punti di intersezione tra la parabola e l’asse delle £$x$£.
A cosa equivale studiare il segno del trinomio? Se il trinomio è:
- positivo, significa che £$y>0$£ e quindi il grafico della parabola si trova sopra l’asse delle £$x$£, cioè nella regione di piano per cui £$ y > 0 $£;
- negativo, la parabola si trova sotto l’asse delle £$x$£, cioè nella regione di piano per cui £$ y < 0 $£.
Come si risolvono graficamente le disequazioni di secondo grado
Interpretazione grafica
Caso particolare
Risolvere le disequazioni di II grado significa trovare gli intervalli che costituiscono la soluzione. Se il polinomio associato alla disequazone non è scomponibile, puoi risolvere le disequazioni di II grado utilizzando l’interpretazione grafica.
Per risolvere le disequazioni di II grado utilizzando l’interpretazione grafica, devi:
- scrivere la disequazione nella forma £$ax^2 + bx +c < (>, ≥ …) 0 $£;
- prendere la parabola associata £$y= ax^2 + bx +c$£;
- disegnare la parabola stabilendo almeno due cose:
- la concavità (verso l’alto se £$a>0$£, verso il basso se £$a<0$£)
- le intersezioni con l’asse delle £$x$£.
Le intersezioni con l’asse delle £$x$£ corrispondono alle soluzioni di £$ax^2 + bx +c =0$£.
A questo punto puoi fare un disegno (indicativo) della parabola e per risolvere la disequazione dovrai stabilire per quali valori di £$x$£ la parabola si trova:
- sopra l’asse delle ascisse (£$ax^2+bx+c > 0$£);
- sotto l’asse delle ascisse (£$ax^2 + bx +c < 0$£).
Cosa succede se la parabola non interseca mai l’asse delle £$x$£?
Significa che l’equazione associata è impossibile (non ha soluzioni, non ci sono valori di £$x$£ per cui il trinomio si annulla), ma … non significa che anche la disequazione sia impossibile!
Riassunto per ripassare
Eccoti un riassunto!
1° CASO: £$ax^2+bx+c>0, a>0$£
- £$\Delta > 0$£ : £$ x < x_1 \vee x > x_2$£, cioè i valori esterni;
- £$\Delta=0$£ : sempre verificata in £$\mathbb{R}$£ tranne quando £$x=x_1=x_2$£;
- £$\Delta < 0$£ : sempre verificata in £$\mathbb{R}$£.
2° CASO: £$ax^2+bx+c<0$£, £$a>0$£
- £$\Delta>0$£ : £$x_1 < x
- £$\Delta=0$£ : nessuna soluzione;
- £$\Delta<0$£ : nessuna soluzione.
Interrogazione sulle disequazioni di secondo grado
Ora che hai visto cosa sono le disequazioni di secondo grado e come si risolvono non ti resta che provare a rispondere alle domande dell’interrogazione: magari saranno proprio quelle che ti farà domani il professore!
Risolvi la sfida
Sfida:
Soluzione:
Devi organizzare un party leggendario e quindi non può mancare la torta! Tu ne volevi una quadrata ma il pasticciere sbaglia completamente le misure. Ti chiederai cosa c’entra tutto questo con le disequazioni di secondo grado… scoprilo leggendo la sfida e provando a risolverla. Poi fai gli esercizi!