Equazioni differenziali di primo ordine: come si risolvono
Nella matematica, affrontare concetti come le equazioni differenziali di primo grado e i problemi di Cauchy può sembrare una sfida, ma non se hai a disposizione le giuste spiegazioni e degli esercizi con cui fare pratica!
In questa lezione imparerai:
- Che cos’è un’equazione differenziale? Definizione di equazione differenziale e di ordine
- Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£: quali sono e come risolverle
- Equazioni differenziali a variabili separabili: quali sono e come risolverle
- Equazioni differenziali lineari: quali sono e qual è la formula risolutiva
- Problemi di Cauchy: cos’è e come risolverlo
- Cos'è un'equazione differenziale di primo ordine
- Come risolvere le equazioni differenziali di primo ordine
- Come risolvere i problemi di Cauchy con le equazioni differenziali di primo ordine
- Esercizi sulle equazioni differenziali di primo ordine
- Sfida sulle equazioni differenziali di primo ordine
Cos’è un’equazione differenziale di primo ordine
Le equazioni differenziali rappresentano le relazioni che coinvolgono una funzione sconosciuta e le sue derivate. Sono fondamentali in diversi campi della scienza e dell’ingegneria per descrivere come un sistema cambia nel tempo.
In altre parole, un’equazione differenziale è un’equazione in cui compare una funzione £$y(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive. Possono comparire derivate di ogni ordine.
L’ordine di un’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che compare nell’equazione. Le equazioni differenziali di primo grado sono un tipo particolare di equazioni differenziali in cui la derivata più alta è di primo ordine.
Come risolvere le equazioni differenziali di primo ordine
Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£
Equazioni differenziali a variabili separabili
Equazioni differenziali lineari
Le equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima.
Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo £$y’=f(x)$£:
- scrivi l’equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£
- risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx$£.
Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell’incognita £$x$£ e una nell’incognita £$y$£: £$y’=p(x)q(y)$£.
Per risolvere un’equazione differenziale a variabili separabili:
- scriviamo £$y’=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£
- risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx$£.
Le equazioni differenziali lineari sono quelle in cui l’incognita £$y$£ non è argomento di un’altra funzione ed ha sempre ordine 1.
Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y’=a(x)y+b(x)$£.
La formula per risolvere un’equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right]$£.
Come risolvere i problemi di Cauchy con le equazioni differenziali di primo ordine
Un problema di Cauchy è composto da:
- un’equazione differenziale
- una condizione iniziale, ossia il valore che deve assumere la funzione incognita in un suo punto
Per risolvere un problema di Cauchy dobbiamo:
- risolvere l’equazione differenziale
- imporre la condizione iniziale per determinare un’unica soluzione
Esercizi sulle equazioni differenziali di primo ordine
Eccoci arrivati al fatidico momento dell’interrogazione: niente panico!
Anche se parliamo di equazioni differenziali, non c’è da aver paura.
Basta guardare la lezione e allenarsi. Prova a risolvere questi esercizi sulle equazioni differenziali!
Sfida sulle equazioni differenziali di primo ordine
Testo della sfida
Soluzione alla sfida