Salta al contenuto

Equazioni differenziali di primo ordine: come si risolvono

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Nella matematica, affrontare concetti come le equazioni differenziali di primo grado e i problemi di Cauchy può sembrare una sfida, ma non se hai a disposizione le giuste spiegazioni e degli esercizi con cui fare pratica!

In questa lezione imparerai:

  • Che cos’è un’equazione differenziale? Definizione di equazione differenziale e di ordine
  • Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali a variabili separabili: quali sono e come risolverle
  • Equazioni differenziali lineari: quali sono e qual è la formula risolutiva
  • Problemi di Cauchy: cos’è e come risolverlo

Cos’è un’equazione differenziale di primo ordine

Cos'è un'equazione differenziale

Le equazioni differenziali rappresentano le relazioni che coinvolgono una funzione sconosciuta e le sue derivate. Sono fondamentali in diversi campi della scienza e dell’ingegneria per descrivere come un sistema cambia nel tempo.

In altre parole, un’equazione differenziale è un’equazione in cui compare una funzione £$y(x)$£ come incognita, e le sue derivate successive. Possono comparire derivate di ogni ordine.

L’ordine di un’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo della derivata che compare nell’equazione. Le equazioni differenziali di primo grado sono un tipo particolare di equazioni differenziali in cui la derivata più alta è di primo ordine.

Come risolvere le equazioni differenziali di primo ordine

Equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£

Equazioni differenziali del tipo y'=f(x)

Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali a variabili separabili

Equazioni differenziali lineari

Equazioni differenziali lineari

Le equazioni differenziali del tipo £$y’=f(x)$£ sono di primo ordine perché compare solo la derivata prima.

Per risolvere le equazioni differenziali di primo ordine del tipo £$y’=f(x)$£:

  1. scrivi l’equazione come £$\frac{dy}{dx}=f(x) \Rightarrow dy=f(x)dx$£
  2. risolvi integrando a destra e sinistra: £$y=\int f(x) dx$£.

Le equazioni differenziali a variabili separabili sono quelle che puoi scrivere come prodotto di una funzione nell’incognita £$x$£ e una nell’incognita £$y$£: £$y’=p(x)q(y)$£.

Per risolvere un’equazione differenziale a variabili separabili:

  1. scriviamo £$y’=\frac{dy}{dx} \Rightarrow dy=p(x)q(y)dx$£
  2. risolviamo integrando a destra e sinistra rispetto alle due variabili: £$\int \frac{dy}{q(y)}=\int p(x) dx$£.

Le equazioni differenziali lineari sono quelle in cui l’incognita £$y$£ non è argomento di un’altra funzione ed ha sempre ordine 1.

Le equazioni differenziali lineari di primo ordine sono della forma £$y’=a(x)y+b(x)$£.

La formula per risolvere un’equazione differenziale lineare di primo ordine è £$y(x)=e^{\int a(x) dx} \left[c+\int b(x)e^{-\int a(x) dx} \ dx\right]$£.

Come risolvere i problemi di Cauchy con le equazioni differenziali di primo ordine

Equazioni differenziali di primo ordine e problemi di Cauchy

Un problema di Cauchy è composto da:

  • un’equazione differenziale
  • una condizione iniziale, ossia il valore che deve assumere la funzione incognita in un suo punto

Per risolvere un problema di Cauchy dobbiamo:

  • risolvere l’equazione differenziale
  • imporre la condizione iniziale per determinare un’unica soluzione

Esercizi sulle equazioni differenziali di primo ordine

Eccoci arrivati al fatidico momento dell’interrogazione: niente panico!

Anche se parliamo di equazioni differenziali, non c’è da aver paura.

Basta guardare la lezione e allenarsi. Prova a risolvere questi esercizi sulle equazioni differenziali!

Sfida sulle equazioni differenziali di primo ordine

Testo della sfida

Sfida sulle equazioni differenziali di primo ordine

Soluzione alla sfida

Soluzione alla sfida sulle equazioni differenziali di 1° ordine