Ripasso sulle equazioni: cosa sono e come si risolvono

Le equazioni in matematica possono assumere molte forme: equazioni di primo e secondo grado, equazioni irrazionali e equazioni con valore assoluto. Ognuna di queste categorie rivela una sfaccettatura specifica della matematica. In questo articolo, forniremo dettagli su ciascuno di questi tipi di equazioni, spiegando come si presentano e come risolverle.

In questa lezione imparerai:

• come risolvere le equazioni di primo e secondo grado
• come risolvere le equazioni con valore assoluto (o modulari)
• come risolvere le equazioni irrazionali, dove la £$x$£ è sotto la radice

• Cos'è un'equazione e qual è il suo grado
• Che cos'è il valore assoluto di un'quazione
• Come risolvere le equazioni in valore assoluto
• Come risolvere una disequazione con il modulo
• Come risolvere le equazioni irrazionali
• Esercizi sulle equazioni irrazionali e con valore assoluto
• Sfida sulle equazioni e disequazioni con modulo

Cos’è un’equazione e qual è il suo grado

Le equazioni e il loro grado

Questo argomento lo hai già studiato sicuramente, ma è molto importante rinfrescare la memoria.

Le equazioni che hai visto finora sono quelle intere e fratte.

Le equazioni di primo grado, anche conosciute come lineari, contengono una o più variabili elevate alla potenza di uno, costituendo la base di molti calcoli matematici. La comprensione di queste equazioni e dei metodi per risolverle è un passaggio cruciale nell’apprendimento della matematica.

Le equazioni di secondo grado rappresentano un avanzamento rispetto a quelle di primo grado. In queste equazioni, le variabili sono elevate alla potenza di due. Queste equazioni presentano concetti più avanzati, come la formula quadratica, e possono avere fino a due soluzioni reali.

Che cos’è il valore assoluto di un’quazione

Il valore assoluto o modulo, che si indica come £$|…|$£, è una funzione che ti assicura che hai a che fare con una quantità £$ > 0$£ oppure £$=0$£. La funzione £$ \left| x \right|$£ è infatti definita in questo modo:

1. £$|x|=x$£ se £$x \ge 0$£;
2. £$|x|=-x$£ se [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] x

Come risolvere le equazioni in valore assoluto

Le equazioni con valore assoluto

Le equazioni contenenti uno o più valori assoluti sono da sempre lo spauracchio di molti studenti. In realtà, l’unico problema è che sono più “lunghe" da risolvere.

Infatti quando in un’equazione è presente un valore assoluto, bisogna:

1. studiare il valore assoluto, cioè trovare gli intervalli di positività e negatività dell’argomento del modulo
2. negli intervalli di positività, si toglie il modulo e si risolve l’equazione
3. negli intervalli di negatività, si cambia segno a tutto l’argomento del modulo e si risolve l’equazione
4. in entrambi i casi, bisogna controllare che la soluzione trovata rientri nell’intervallo in cui si stava studiando l’equazione

Queste equazioni introducono il concetto di “valore assoluto“, che in matematica rappresenta la distanza di un numero da zero. Queste equazioni possono essere risolte in vari modi, a seconda della loro specifica struttura, mostrando come il concetto di distanza possa essere applicato nella matematica.

Come risolvere una disequazione con il modulo

Esistono anche le disequazioni con modulo. Ma come si risolvono?
Il modo di procedere è esattamente lo stesso di quello che facevi per le equazioni:

1. Studia il segno del contenuto dei moduli: individua gli intervalli in cui sono £$ \ge $£ e [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"]
2. Scrivi i sistemi tra l’intervallo identificato e la disequazione riscritta senza i moduli. Ricorda di cambiare il segno dei contenuti dei moduli quando negativi.
3. Scrivi la soluzione, che è l’unione delle soluzioni di ogni sistema studiato.

Come risolvere le equazioni irrazionali

Le equazioni irrazionali

Un’equazione è irrazionale quando l’incognita compare sotto una radice. Ci sono due casi:

• se l’indice della radice è dispari, si elevano entrambi i membri a quell’indice, in modo da togliere la radice
• se l’indice è pari, bisogna prima mettere le C.E. dell’argomento della radice (che deve essere maggiore o uguale a zero) e poi si elevano entrambi i membri all’indice della radice. Una volta trovata la soluzione, bisogna confrontarla con le C.E.

Le equazioni irrazionali, che coinvolgono radici quadrate, cubiche o di altro ordine, possono sembrare più complesse, ma sono altrettanto importanti. In queste equazioni, la variabile si trova sotto il segno della radice. Nonostante la loro apparente complessità, queste equazioni seguono regole specifiche e possono essere risolte con diversi metodi!

Esercizi sulle equazioni irrazionali e con valore assoluto

L’unico modo per imparare a risolvere le equazioni con valore assoluto e quelle irrazionali è fare un sacco di esercizi.

Qui trovi alcuni esercizi sulle equazioni in valore assoluto e irrazionali, ma ce ne sono tanti altri nei tre livelli di esercizi di questa lezione!

Cosa potrebbero chiederti nell’interrogazione

Non sai cosa ti chiederà domani la prof nell’interrogazione di equazioni e disequazioni con modulo? Magari proprio le domande in questo video!

Poi prova a fare gli esercizi (tutti svolti e spiegati)!

Sfida sulle equazioni e disequazioni con modulo

Sfida:

Soluzione:

Giochi in spiaggia prima dell’aperitivo…cosa c’entrano con la matematica? Affronta la sfida sulle equazioni e disequazioni con valore assoluto e poi facendo gli esercizi!