Sistemi lineari: cosa sono e come riconoscerli
In algebra i sistemi lineari sono dei sistemi all’interno dei quali vi sono più equazioni lineari che devono essere contemporaneamente verificate. Si tratta di un sistema all’interno del quale sono presenti più incognite ed ogni incognita presenta un esponente pari ad 1.
Ciò significa che i sistemi lineari sono dei sistemi nei quali vi sono delle equazioni di primo grado a più incognite. In questo articolo cercheremo di capire al meglio cos’è un sistema di equazioni e in particolare come fare a riconoscerlo negli esercizi!
- Cos'è un sistema di equazioni lineari
- Sistemi di equazioni lineari a 2 incognite
- Metodo grafico per la risoluzione dei sistemi lineari
- A cosa serve un sistema lineare
- Grado di un sistema lineare
- Un sistema ha sempre una soluzione?
- Come impostare i sistemi
- Esercizi sui sistemi di equazioni di primo grado
Cos’è un sistema di equazioni lineari
I sistemi di equazioni lineari sono anche chiamati semplicemente sistemi lineari e sono dei veri e propri gruppi di equazioni nelle quali ogni singola equazione presente nel sistema è un’equazione di primo grado e presenta una o più incognite.
$$\begin{cases} x+4y=2 \\ 3x-y = 0 \end{cases}$$
Questa rappresentata, ad esempio, è proprio un esempio di sistema lineare di primo grado. In realtà, secondo la definizione algebrica, non c’è un limite al numero di equazioni che potrebbero essere inserite all’interno dei sistemi, né al numero di incognite presenti: l’unico elemento che deve restare invariato, affinché questo sistema sia definito lineare, è il primo grado: ogni incognita presente deve avere esponente pari a 1. Ecco un altro esempio:
$$\begin{cases} x+4y=2 \\ 3x-y = 0 \\ x + 3y + z = 5\end{cases}$$
E potremmo procedere in questo modo anche all’infinito! In linea generale, i sistemi di equazioni lineari che incontrerete e che si incontrano effettivamente con maggiore frequenza sono: sistemi con equazioni in numero pari al numero totale delle incognite e un numero di incognite comunque limitato. Vediamo alcuni esempi insieme nei prossimi paragrafi!
Sistemi di equazioni lineari a 2 incognite
Cosa sono le equazioni con due incognite
Nel piano cartesiano
Sai come risolvere le equazioni di primo grado con un’incognita (di solito è £$x$£). Ma cosa succede se ci sono due incognite? Cosa rappresenta l’equazione £$y-x=0$£? Ricorda che le incognite sono numeri quindi puoi, per esempio, portare la £$x$£ dall’altra parte:
£$y-x=0 \to y=x$£
Cosa rappresenta l’equazione £$y=x$£? È una retta! Ma questo vale per tutte le equazioni che hanno due incognite con esponente £$1$£.
Quali sono le soluzioni? Tutti i punti della retta! Infatti se diamo un valore qualunque alla £$x$£ e lo sostituiamo nell’equazione della retta troviamo £$y$£
Ma quante sono? Una per ogni punto della retta, che sono infiniti! Quindi un’equazione con due incognite di grado £$1$£ ha sempre infinite soluzioni.
Ma queste equazioni sono rette, quindi sono chiamate equazioni lineari.
Metodo grafico per la risoluzione dei sistemi lineari
Le equazioni con due incognite, entrambe di grado al massimo £$1$£, sono delle rette nel piano cartesiano. Ma i sistemi servono a trovare le soluzioni comuni alle equazioni che lo compongono. Quindi, cosa rappresentano i valori di £$x$£ e £$y$£ trovati? Nel piano cartesiano, £$x$£ e £$y$£ sono le coordinate di un punto e questo punto sta su tutte e due le rette del sistema. Quindi la soluzione di un sistema lineare è il punto di intersezione tra le due rette!
Ma se le rette sono parallele? Non abbiamo nessun punto in comune, quindi il sistema non ha soluzioni (diciamo che è impossibile). Se invece le rette sono una sopra l’altra, cioè se coincidono, avranno tutti i punti in comune. Quindi infinite soluzioni (in questo caso, diciamo che il sistema è indeterminato).
A cosa serve un sistema lineare
Un sistema è un insieme di un certo numero di equazioni che hanno una o più incognite. La soluzione del sistema quindi è il valore di ciascuna incognita che rende vere contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.
Ma a cosa serve un sistema lineare? I sistemi lineari servono a trovare le soluzioni (quindi i valori delle incognite) comuni delle equazioni che lo compongono.
La cosa difficile non è risolvere un sistema, ma modellizzare una situazione reale utilizzando un sistema. Qui trovi un esempio che ti aiuta a capire come impostare un sistema per risolvere una situazione reale.
Grado di un sistema lineare
Come per le equazioni, anche i sistemi di equazioni hanno un grado. Ma come si calcola? È molto facile! Basta guardare il grado delle equazioni del sistema:
“il grado del sistema è uguale al prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono“.
Facciamo un esempio: il sistema £$\begin{cases} x+4y = 2 \\ 3x -y = 0 \end{cases}$£ ha grado £$1$£ perché entrambe le equazioni hanno grado £$1$£ e £$1\cdot 1=1$£
Invece, il grado del sistema £$\begin{cases} 2x^4+4y^3 = 2 \\ 3x^3 -y = 0 \end{cases}$£ è uguale a £$4\cdot 3 = 12$£.
Un sistema ha sempre una soluzione?
Sistemi impossibili
Sistemi indeterminati
Come capire se un sistema è impossibile oppure se il sistema è indeterminato? Un metodo facile è scrivere entrambe le equazioni isolando la £$y$£:
- se i coefficienti di £$x$£ sono uguali ma hanno termine noto diverso allora il sistema è impossibile perché le due rette sono parallele
- se i coefficienti di £$x$£ sono uguali ed è anche uguale il termine noto, allora le due equazioni sono uguali cioè sono la stessa retta e ci sono infinite soluzioni: il sistema è indeterminato.
E se non vogliamo scriverle in questa forma? Cosa succede se iniziamo a fare i conti? Sei nel posto giusto per scoprirlo!
Come impostare i sistemi
Esercizio reale
Esercizio di geometria
Se hai visto come trovare le soluzioni di un sistema ora ti chiederai: a cosa servono i sistemi? Quali problemi risolvono? Ottima domanda. Qui scoprirai come risolvere i problemi con i sistemi lineari.
La cosa più difficile è impostare il problema. Per questo qui trovi due esercizi svolti sui sistemi e ti facciamo vedere cosa devi guardare per impostare i sistemi.
Esercizi sui sistemi di equazioni di primo grado
Ripassa le equazioni con questi esercizi sui sistemi di primo grado. Trova i risultati e poi confrontali con le soluzioni che trovi nella colonna a destra.
Scarica qui il pdf con gli esercizi: