Equazioni lineari: cosa sono e come si risolvono

Le equazioni sono delle vere e proprie uguaglianze nel linguaggio matematico, all’interno delle quali possiamo ritrovare una o più incognite. Quando risolviamo un’equazione, sostanzialmente stiamo individuando tutti quei valori numerici che, nel momento in cui vengono sostituiti all’incognita, rendono l’uguaglianza espressa dall’equazione vera.

In matematica ne esistono di tante tipologie diverse, oggi vedremo insieme le equazioni lineari: scopriremo come riconoscerle, cosa significa equazione, come si risolvono e ci alleneremo con degli esercizi pratici!

• Concetto di equazione
• Forma normale e riduzione delle equazioni
• Grado di un'equazione lineare
• Come capire se un'equazione è intera o fratta, numerica o letterale
• Equazioni determinate, indeterminate, impossibili
• Sfida sulle equazioni lineari
• Come risolvere un'equazione lineare con il metodo grafico
• Equazioni lineari: esercizi svolti
• Equazioni lineari: esercizio svolto "difficile"

Concetto di equazione

Un’equazione (che viene dal latino aequare che significa rendere uguali) è un’uguaglianza tra due espressioni letterali. A differenza delle identità però, l’uguaglianza in un’equazione non è sempre vera. L’obiettivo è cercare il valore della variabile (o delle variabili) che rende vera l’uguaglianza.

Quindi, un’uguaglianza fra due espressioni è un’equazione quando cerchiamo i valori delle lettere che rendono uguali le espressioni a destra e sinistra dell’uguale.

Possiamo immaginare un’equazione come una bilancia a due piatti in cui l’ago della bilancia è l’uguale. I due piatti saranno in equilibrio, e quindi alla stessa altezza, solo quando la quantità nel piatto a sinistra è esattamente uguale alla quantità nel piatto di destra. Quindi l’equilibrio è la chiave delle equazioni. Qualsiasi cosa tu faccia ricordati sempre che non bisogna mai perdere l’equilibrio!

Forma normale e riduzione delle equazioni

£$3x+x=12$£ è una equazione ma non è ridotta a forma normale.

£$4x=12$£ è ridotta a forma normale, £$ x=\frac{12}{4}$£, cioè £$x=3$£ è la sua soluzione.

£$3x+1=12+4x$£ non è ridotta a forma normale. Come fai a ridurla a forma normale? Devi portare tutti i termini con la £$ x $£ da una parte dell’uguale e i coefficienti, cioè i numeri, dall’altra cambiando di segno: £$3x – 4x=12-1$£

Poi somma i termini simili, e quindi ottieni £$ -x=11$£

Ed ecco fatto. Questa è la stessa equazione ma questa volta è ridotta a forma normale.

Quindi un’equazione è ridotta a forma normale quando è scritta con tutte le incognite da una parte dell’uguale e tutti i coefficienti dall’altra.

Grado di un’equazione lineare

Il grado dell’equazione (ridotta a forma normale) è il massimo esponente con cui compare l’incognita. Quindi per calcolare il grado di un’equazione bisogna:

1. ridurla a forma normale: somma tutti i termini (monomi) simili;
2. controllare il grado (cioè l’esponente) di ogni incognita;
3. l’esponente massimo (il più grande) è il grado dell’intera equazione.

Ad esempio, il grado dell’equazione £$ 3x^2+ 6x+1= 4x^3$£ è £$3$£ perché è l’esponente più grande della £$x$£. Il grado dell’equazione £$2x^5-3-2x^5+x=0$£ può sembrare £$5$£ ma l’equazione non è ridotta in forma normale. Infatti il termine di quinto grado si annulla e rimane l’equazione £$-3+x=0$£ quindi il grado è £$1$£

Nelle equazioni lineari, il grado dell’incognita deve sempre avere l’esponente pari a 1, altrimenti non si tratterebbe di un’equazione lineare!

Come capire se un’equazione è intera o fratta, numerica o letterale

Puoi classificare le equazioni partendo dalle incognite, oppure dai coefficienti.
Considerando le incognite, un’equazione può essere intera o fratta:

• intera: le incognite sono solo al numeratore. £$ 3x=\frac{9}{2} $£ e £$3x=9$£ sono equazioni intere
• fratta: c’è almeno un’incognita al denominatore £$\frac{3}{x-1}=9$£ e £$ \frac{2}{3}+\frac{1}{x}=9$£

Considerando i coefficienti, un’equazione può essere letterale o numerica:

• numerica: tutti i coefficienti, delle incognite e non, sono dei numeri £$3x=9$£ e £$\frac{3}{x-1}=9$£ sono equazioni numeriche;
• letterale: c’è almeno un coefficiente che è una lettera.

£$3ax=9$£ e £$\frac{3a}{x}=9x$£ sono equazioni letterali. Nelle equazioni letterali, quindi ci sono due "tipi" di lettere, le incognite, che di solito sono £$x$£, £$y$£, £$z$£ e che sono quelle che devi trovare affinché l’uguaglianza sia verificata, ed i parametri, che di solito sono £$a$£, £$b$£ o £$k$£ e che dovrai trattare come dei numeri nella risoluzione dell’equazione, anche se non li conosci di preciso.

Equazioni determinate, indeterminate, impossibili

In un’equazione, i valori che rendono vera l’uguaglianza si chiamano soluzioni dell’equazione . Puoi dire che questi valori "soddisfano" o "verificano" l’equazione perché sostituiti all’incognita, rendono l’uguaglianza sempre vera.

A seconda del numero di soluzioni, l’equazione è:

• determinata: se ha un numero finito di soluzioni. C’è almeno un valore che, sostituito alla o alle incognite, rende vera l’uguaglianza;
• indeterminata: se ha un numero infinito di soluzioni. In questo caso l’equazione è anche un’identità;
• impossibile: se non ha soluzioni. Quindi non c’è nessun valore che sostituito all’incognita renda vera l’uguaglianza.

Il numero di soluzioni di un’equazione dipende dall’insieme numerico in cui cerchi le soluzioni. Per esempio £$2x=3$£, che ha come soluzione £$x=\frac{3}{2}$£ è un’equazione determinata nell’insieme dei reali £$\mathbb{R}$£ o in quello dei razionali £$\mathbb{Q}$£, ma è un’equazione impossibile nell’insieme dei naturali £$\mathbb{N}$£, dove non esistono le frazioni! Di solito cercherai le soluzioni nell’insieme dei numeri reali.

Sfida sulle equazioni lineari

Sfida

Soluzione alla sfida

Risolvi la sfida sulle equazioni lineari! Cosa c’entra il cinema con le equazioni? Scoprilo! Se non riesci subito, non preoccuparti. Guarda i video spiegati con esempi svolti sulle equazioni lineari. Trovare la soluzione alla sfida sarà più facile!

Come risolvere un’equazione lineare con il metodo grafico

Hai visto che le equazioni sono come una bilancia in cui i due membri sono i due piatti e l’ago della bilancia è l’uguale. Per tenere l’equilibrio, quindi, ogni volta che fai qualcosa al primo membro, devi fare la stessa anche al secondo membro, e questi non sono altro che i principi di equivalenza, Ma ci sono altri metodi per capire meglio e per risolvere le equazioni lineari? Sì! Si possono fare dei grafici o usare degli strumenti, come i regoli. Guarda il video per capire meglio come funziona!

Equazioni lineari: esercizi svolti

Problema: Banca

Problema: Campo da calcio

Problema: Cacao

Ma a cosa servono le equazioni di primo grado? Nella vita di tutti i giorni ti capita spesso di risolvere delle equazioni lineari senza nemmeno rendertene conto. Nei video troverai esempi ed esercizi svolti sulle equazioni lineari. Imparerai a riconoscere i problemi risolubili con equazioni lineari e a impostare e risolvere problemi con le equazioni lineari.

Equazioni lineari: esercizio svolto "difficile"

Un esercizio svolto di equazioni lineare "difficile". In questo video vedrai tutti i passaggi utili per risolvere correttamente un esercizio sulle equazioni lineari!