Funzione quadratica e parabola: definizione
La matematica è un campo di studio caratterizzato da una miriade di connessioni tra i vari concetti. Queste connessioni forniscono profondità e comprensione, consentendo di vedere come i diversi aspetti della matematica si riferiscono e interagiscono tra loro. Un collegamento particolarmente intrigante è quello tra la funzione quadratica e la parabola. Nell’articolo che segue, ci impegneremo ad esplorare e svelare questo rapporto, per far luce su come queste due entità matematiche si correlano e come ciascuna può essere utilizzata per comprendere l’altra.
In questa video lezione vedrai:
– Funzione parabola £$ y=ax^2 $£: come si disegna e quali sono le caratteristiche di una parabola di equazione £$ y=ax^2 $£
– Funzione parabola £$ y=ax^2+bx+c $£: come si disegna e quali sono le caratteristiche di una parabola di equazione £$ y=ax^2+bx+c $£
– Zeri della parabola: cosa sono gli zeri di una parabola e quale relazione hanno con le equazioni di secondo grado
- Cosa sono le equazioni di secondo grado, le funzioni quadratiche e le parabole
- Funzione parabola y=ax²
- Funzione parabola y=ax²+bx+c
- Come trovare gli zeri di una parabola
- Interrogazione sulla funzione quadratica e la parabola
- Sfida sulla funzione quadratica
Cosa sono le equazioni di secondo grado, le funzioni quadratiche e le parabole
Prima di immergerci nel rapporto tra una funzione quadratica e una parabola, dobbiamo delineare chiaramente cosa siano queste due entità e come si relazionano con le equazioni di secondo grado.
Un’equazione di secondo grado è un tipo di equazione polinomiale dove il grado più alto è due. Questo significa che la variabile più alta nella formula è al quadrato. In generale, un’equazione di secondo grado ha la forma £$ax^2 + bx + c = 0$£, dove £$a, b,c$£ sono costanti, e £$a$£ non può essere zero.
Una funzione quadratica, d’altra parte, è una funzione che può essere espressa come £$f(x) = ax^2 + bx + c$£, che è molto simile all’equazione di secondo grado. La differenza principale tra le due è che l’equazione di secondo grado è un’equazione da risolvere per trovare le soluzioni, mentre la funzione quadratica è una funzione che produce un valore y per ogni valore x.
Infine, una parabola è una curva piana simmetrica. Le parabole sono le forme geometriche che rappresentano le funzioni quadratiche quando sono graficate. In altre parole, quando tracci un grafico di una funzione quadratica, la forma che vedi sul grafico è una parabola.
Il legame tra queste tre entità, quindi, è piuttosto stretto. Le equazioni di secondo grado, le funzioni quadratiche e le parabole sono tutte strettamente interconnesse, ognuna fornendo una prospettiva diversa per esaminare e capire i concetti matematici. Scopriamo meglio come si possono intrecciare tra di loro!
Funzione parabola y=ax²
Un’equazione di I grado £$ax = b$£ si interpreta come la ricerca delle intersezioni della retta £$y = ax – b $£ con l’asse £$x$£. Ad una retta è associabile una funzione di I grado.
A cosa corrispondono le equazioni di II grado?
La parabola è una figura nel piano che possiamo associare ad una equazione di II grado. Il segno del coefficiente £$a$£ indica se la parabola va verso l’alto o verso il basso, ovvero se la sua concavità è verso l’alto o verso il basso:
- £$a > 0$£: concavità verso l’alto
- £$a < 0$£: concavità verso il basso
Il valore di £$a$£ indica l’apertura della parabola.
All’aumentare di £$a$£, le parabole si stringono attorno al proprio asse.
Funzione parabola y=ax²+bx+c
Per disegnare una parabola, quando conosci la sua equazione, sono sufficienti:
- il vertice (cioè il punto più basso se £$a > 0$£, il punto più alto se £$a < 0$£);
- l’asse di simmetria (quello che fa da "specchio" ai due rami della parabola).
Prima di affrontare lo studio della parabola completa, vediamo alcuni casi particolari:
- £$b=0$£: il vertice è sempre sull’asse £$y$£: £$V(0; c)$£. L’asse di simmetria è l’asse £$y$£;
- £$c=0$£: l’asse di simmetria è la retta verticale che passa per il vertice;
- £$b=c=0$£: siamo nel primo caso, già studiato.
Come trovare gli zeri di una parabola
Qual è la relazione tra le parabole e le equazioni di II grado?
Ad ogni equazione di II grado £$ax^2 + bx + c = 0$£ possiamo associare una parabola corrispondente £$y = ax^2 + bx + c$£.
L’equazione di II grado ha una sola incognita: £$x$£.L’equazione della parabola è una funzione e ci sono due incognite: £$x$£ e £$y$£.
Quindi risolvere l’equazione è equivalente a risolvere il sistema formato dall’equazione della parabola e dalla retta £$y=0$£.
L’asse £$x$£ ha equazione £$y=0$£: il sistema rappresenta l’intersezione tra la parabola e l’asse £$x$£. Quindi trovare i valori di £$x$£ per cui la £$y$£ è £$=0$£ significa trovare i valori di £$x$£ per cui la parabola interseca l’asse delle £$x$£.
Risolvere l’equazione è equivalente a trovare gli zeri (ovvero i punti di intersezione con l’asse £$x$£) della parabola.
Interrogazione sulla funzione quadratica e la parabola
Domani hai la verifica o l’interrogazione sulla funzione quadratica e la parabola? Non preoccuparti prova a rispondere alle domande di questo video e poi leggi bene le spiegazioni agli esercizi così ripassi!
Sfida sulla funzione quadratica
Sfida
Soluzione
Gli Equaziococco sono in azione! Devi cercare di disegnare la funzione quadratica che rappresenta la crescita dei batteri! Vedrai che sarà una parabola! Non sai che cos’è? Allora riguarda i video di questa lezioni e poi risolvi gli esercizi!