Equazioni lineari: risoluzione e principi di equivalenza
Nella matematica, e in particolare nella risoluzione delle equazioni, i principi di equivalenza sono regole fondamentali che ci permettono di modificare le equazioni in modi che le rendano sempre e comunque veritiere. Questi principi sono alla base di ogni passaggio che facciamo quando risolviamo un’equazione e ci assicurano che, nonostante dopo averli applicati l’equazione ci risulti leggermente diversa, la soluzione rimane sempre la stessa.
Scopriamo insieme quali sono i due principi fondamentali e come utilizzarli nel modo corretto!
- Risoluzione algebrica e concetto di principio di equivalenza
- Primo principio di equivalenza delle equazioni lineari
- Secondo principio di equivalenza delle equazioni lineari
- Esercizi sui principi di equivalenza nelle equazioni lineari
Risoluzione algebrica e concetto di principio di equivalenza
Come si risolvono le equazioni lineari?
Esempio di equazione impossibile
Per risolvere un’equazione di primo grado devi trovare il valore dell’incognita per cui quello che sta a sinistra dell’uguale, cioè al primo membro, è identico a quello che sta a destra, cioè al secondo membro. Per trovare la soluzione dovrai fare alcune operazioni senza cambiare l’equilibrio dell’equazione, trasformandola ogni volta in un’equazione equivalente, cioè con le stesse soluzioni, fino a che non arrivi alla forma £$x=$£ un numero o un numero £$= x$£, che è la soluzione.
Quando fai delle operazioni ad entrambi i membri, trasformando l’equazione in una equivalente, stai applicando i principi di equivalenza.
Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi sommare o sottrarre una stessa quantità ad entrambi i membri di un’equazione senza cambiare l’equilibrio, cioè ottenendo un’equazione equivalente.
Il secondo principio di equivalenza, invece, dice che puoi moltiplicare o dividere per una stessa quantità tutto il primo membro e tutto il secondo membro senza modificare l’equilibrio della nostra equazione, e quindi ottenendone una equivalente.
Quindi, per risolvere un’equazione lineare dovrai applicare consecutivamente il primo ed il secondo principio di equivalenza fino a che non trovi la soluzione.
Primo principio di equivalenza delle equazioni lineari
A cosa serve?
Cosa dice il primo principio?
Esempio svolto
Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi trasformare l’equazione in una equivalente aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri una stessa quantità, cioè uno stesso numero o una stessa espressione.
Perché applicare il primo principio di equivalenza? Sai che vuoi avere un’equazione della forma £$ x= $£ un numero o un numero £$= x$£, e con questo obiettivo vuoi avere tutte le £$x$£ da una parte dell’uguale e tutti i coefficienti dall’altra. Per farlo cerca di eliminare dei termini in un membro sommandoli per il loro opposto. Fare questa operazione ogni volta renderebbe lunga e caotica la risoluzione delle equazioni lineari, ecco perché, nella pratica, si utilizzano le conseguenze del 1° principio di equivalenza.
Quello che fai, sommando e sottraendo la stessa quantità a destra e sinistra dell’uguale è:
- trasportare da un membro all’altro cambiando di segno: otterrai un’equazione equivalente se trasporti un termine da un membro all’altro (cioè da destra a sinistra dell’uguale o viceversa), cambiandolo di segno;
- cancellare quantità uguali ad entrambi i membri: otterrai un’equazione equivalente se cancelli i termini uguali a destra e sinistra dell’uguale.
Questa è l’applicazione del primo principio di equivalenza delle equazioni.
Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.
Secondo principio di equivalenza delle equazioni lineari
A cosa serve?
Il secondo principio
Esempio svolto
Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che puoi trasformare un’equazione in una equivalente moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero, o una stessa espressione, purché siano diversi da zero (altrimenti si modifica il risultato dell’equazione).
Come per il primo principio, anche il secondo principio di equivalenza si usa con l’obiettivo di arrivare ad un’equazione della forma £$x=$£ un numero, o un numero £$ =x$£. Puoi osservare che il secondo principio di equivalenza ha delle conseguenze, cioè ti permette di:
- cambiare segno a tutti i termini dell’equazione: otterrai un’equazione equivalente se cambi segno a tutti i termini di un’equazione perché equivale a moltiplicare entrambi i membri per £$−1$£
- moltiplicare o dividere per un fattore comune ( £$\ne 0$£ ) tutti i termini: otterrai un’equazione equivalente se dividi tutti i termini di un’equazione per un fattore comune a tutti i termini.
Nei video, vedrai due esercizi svolti sull’uso del secondo principio di equivalenza delle equazioni.
Esercizi sui principi di equivalenza nelle equazioni lineari
Sfida
Soluzione alla sfida
Ecco la sfida sui principi di equivalenza delle equazioni! Come organizzi il tuo weekend quando i genitori non ci sono? Prova a impostare e risolvere il problema. Se hai dei dubbi, guarda i video che ti spiegano passo dopo passo come risolvere le equazioni di primo grado usando i principi di equivalenza. Poi torna qui e risolvi la sfida!