Sistemi di equazioni di secondo grado: cosa sono e quanti sono

Avete mai sentito parlare di "sistemi di equazioni di secondo grado" e vi siete chiesti di cosa si tratti? Bene, siete nel posto giusto! In questo articolo scopriremo che cos’è un sistema di equazioni di secondo grado e come può manifestarsi in diverse forme.

La matematica può essere pensata come un intricato puzzle: ogni pezzo ha il suo posto specifico e una funzione particolare. Un sistema di equazioni di secondo grado è un insieme di equazioni in cui le incognite sono al massimo al secondo grado. Questi sistemi possono assumere vari aspetti e forme, a seconda del numero di equazioni e delle caratteristiche delle stesse. Esistono diversi metodi per risolvere tali sistemi e, a volte, possiamo trovarci di fronte a situazioni in cui il sistema è determinato, indeterminato o impossibile.

In questo articolo, cercheremo di fare luce su questi concetti, rendendo più semplice la comprensione di come vengono classificati e risolti i sistemi di equazioni di secondo grado.

In particolare, imparerai:

– Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite: cos’è, quali caratteristiche ha, quante e quali soluzioni può avere, quali sono i metodi risolutivi di un sistema di II grado di 2 equazioni in 2 incognite

– Sistemi di tre equazioni in tre incognite: cosa sono e con quali metodi si risolvono i sistemi di secondo grado in tre incognite

– Sistemi geometrici: intersezione di una retta con una parabola: quale è l’interpretazione grafica dei sistemi di II grado

• Cosa sono i sistemi di equazioni di secondo grado
• Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite
• Sistemi di tre equazioni in tre incognite
• Sistemi di equazioni con due equazioni e tre incognite
• Cosa sono i sistemi di equazioni e i sistemi geometrici
• Interrogazione su come risolvere i sistemi di secondo grado
• Esercizio sui sistemi di equazioni di secondo grado

Cosa sono i sistemi di equazioni di secondo grado

Prima di parlare di un sistema di equazioni di secondo grado, è importante chiarire che cosa sia un’equazione di secondo grado. In sintesi, un’equazione di secondo grado è un’equazione polinomiale di secondo grado, ovvero un’equazione che può essere scritta nella forma £$ax^2 + bx + c = 0$£, dove £$a, b, c$£ sono costanti, e £$a$£ non è uguale a zero.

Quando parliamo di un sistema di equazioni di secondo grado, ci riferiamo a un insieme di due o più di queste equazioni che devono essere risolte simultaneamente. In altre parole, stiamo cercando una soluzione che soddisfi tutte le equazioni nel sistema.

Ora, parliamo delle diverse "tipologie" di sistemi di equazioni di secondo grado, che possono essere classificati come determinati, indeterminati o impossibili. Un sistema si dice "determinato" quando esiste una o più soluzioni che soddisfano tutte le equazioni nel sistema. Se, invece, non esistono soluzioni che soddisfino tutte le equazioni, il sistema si dice "impossibile". Infine, un sistema è "indeterminato" quando ci sono infinite soluzioni che soddisfano tutte le equazioni.

Per determinare quale delle queste categorie si applichi a un dato sistema di equazioni di secondo grado, è necessario procedere alla risoluzione del sistema. Questo processo può richiedere l’utilizzo di varie tecniche, tra cui l’eliminazione, la sostituzione, l’utilizzo della regola di Cramer o, in alcuni casi, il ricorso a metodi più avanzati.

Sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite

Sistemi di secondo grado due equazioni in due incognite

Un sistema di equazioni è un insieme di due o più equazioni con le stesse incognite. Un sistema di II grado può essere:

• determinato (se ha un numero finito di soluzioni);
• indeterminato (se ha un numero infinito di soluzioni);
• impossibile (se non ha soluzioni).

Il sistema è di II grado quando una delle equazioni è di II grado e le altre sono di I grado. Infatti il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle equazioni, quindi, per essere di grado II, il sistema deve avere un’equazione di grado II e le altre di grado I.

Di solito il metodo della sostituzione è il metodo più veloce per risolvere un sistema di II grado, ma potresti usare anche il metodo del confronto o il metodo della riduzione.

Per concludere i sistemi di II grado, vedrai il sistema di £$3$£ equazioni in £$3$£ incognite: si risolve con i metodi che hai già imparato!

Sistemi di tre equazioni in tre incognite

Sistemi di secondo grado di tre equazioni in tre incognite

Hai visto come risolvere i sistemi lineari cioè i sistemi di due equazioni in due incognite. Ma cosa succede se le incognite sono £$3$£? È la stessa cosa! I metodi da usare sono gli stessi: il metodo di sostituzione e il metodo di riduzione.

Il metodo per risolvere i sistemi di tre equazioni in tre incognite è:

1. trovare un’incognita in funzione delle altre due;
2. sostituire questo valore in una delle altre due equazioni;
3. trovare una delle restanti due incognite, che resterà dipendente solo dalla terza incognita;
4. sostituire nell’ultima equazione. Ora rimane un’equazione in una incognita. La risolviamo;
5. sostituire il valore trovato nelle altre due equazioni e trovare le altre due incognite;
6. festeggia!

Qui ti facciamo vedere un esercizio svolto sui sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Sistemi di equazioni con due equazioni e tre incognite

Cosa succede se abbiamo più incognite che equazioni? Come sono fatte le soluzioni del sistema?

Finora abbiamo sempre avuto lo stesso numero di equazioni e di incognite. Adesso vediamo, con un esercizio svolto, come risolvere un sistema che ha un numero di incognite maggiore delle equazioni.

Cosa sono i sistemi di equazioni e i sistemi geometrici

Si può dare un’interpretazione grafica anche ai sistemi di II grado, detti sistemi geometrici!
Un sistema di II grado può descrivere l’intersezione tra una parabola e una retta nel piano cartesiano.
Quali sono le possibilità?

• Retta secante la parabola: ci sono £$2$£ punti di intersezione. Quindi il sistema è determinato e ha £$2$£ soluzioni;
• Retta tangente alla parabola: £$1$£ solo punto di intersezione tra le figure. ll sistema è determinato e ha £$1$£ sola soluzione (con molteplicità £$2$£), cioè £$2$£ soluzioni reali e coincidenti;
• Retta esterna alla parabola: nessun punto di intersezione. Il sistema è impossibile perché non ha soluzione;
• Retta parallela all’asse della parabola: £$1$£ punto di intersezione. Il sistema è determinato e ha £$1$£ sola soluzione.

A volte non viene chiesto di risolvere esplicitamente il sistema ma solo di determinare quante sono le sue soluzioni o se retta e parabola sono secanti, tangenti o esterne.

Interrogazione su come risolvere i sistemi di secondo grado

In questa lezione hai visto come risolvere i sistemi di secondo grado! Quando è meglio usare la risoluzione algebrica e quando quella geometrica? Rispondi alle domande dell’interrogazione: magari saranno proprio quelle che ti farà la prof domani!

Esercizio sui sistemi di equazioni di secondo grado

Sfida e sistemi

Soluzione

Nel corpo del tuo professore ci sono lo stesso numero di Equaziococchi e di Geometricocchi! Ma quanti erano quelli iniziali? Lo dovrai calcolare risolvendo un sistema di secondo grado!