Equazioni goniometriche elementari: come risolverle

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le equazioni goniometriche elementari sono un argomento fondamentale della matematica che coinvolge le funzioni trigonometriche — come seno, coseno e tangente — in relazione ad una variabile angolare. Queste equazioni sono strumentali per risolvere problemi che includono angoli e lunghezze in triangoli e altre forme geometriche, trovando applicazioni in ambiti quali fisica, ingegneria, e architettura.

Le funzioni goniometriche hanno una periodicità:

il seno ed il coseno sono periodici di £$2 \pi$£, quindi ogni £$2 k \pi$£, con £$k \in \mathbb{N}$£ troverai gli stessi angoli e quindi le stesse soluzioni della tua equazione;
la tangente e la cotangente sono periodiche di £$\pi$£, quindi ogni £$k \pi$£ con £$k$£ numero naturale, ritrovi gli stessi angoli, e quindi anche le stesse soluzioni dell’equazione.

Infine è importante ricordare i codomini ed i punti critici delle funzioni goniometriche.
Il seno ed il coseno hanno come codominio l’intervallo £$[-1,1]$£ cioè assumono valori solo in questo intervallo. Le equazioni £$sen \, x=-3$£ o £$cos \, x=5$£ sono quindi impossibili.
La tangente e la cotangente non sono definite per alcuni valori: non esiste la tangente di 90° e nemmeno la cotangente di 180°, quindi per questi valori l’equazione risulterà impossibile.

Cosa sono le equazioni goniometriche
Equazioni goniometriche elementari
Equazioni in tangente e cotangente
Esercizi sulle equazioni goniometriche elementari
Sfida sulle equazioni goniometriche

Cosa sono le equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle della forma £$ sen \ x = a $£, £$cos \ x= b$£, £$ tg \ x=c$£ o £$cotg \ x=d$£ con £$a$£, £$b$£, £$c$£ e £$d$£ numeri reali.

Per risolvere le equazioni goniometriche elementari devi ricordare i valori che assumono le funzioni goniometriche negli angoli conosciuti, se non sono quelli che appaiono nella tua equazione devi ricorrere alla funzione inversa.

Equazioni goniometriche elementari

Equazioni in seno

Equazioni in coseno

Puoi risolvere le equazioni goniometriche elementari aiutandoti con la circonferenza goniometrica:

se devi trovare quali angoli hanno il seno uguale ad £$a$£, basta disegnare la retta £$y=a$£, l’intersezione di questa retta con la circonferenza goniometrica individua le soluzioni dell’equazione;
per trovare gli angoli che hanno coseno uguale a £$b$£ fai come per il seno, ma disegna la retta parallela all’asse £$y$£ di equazione £$x=b$£.

Equazioni in tangente e cotangente

Equazioni con la tangente

Equazioni con la cotangente

Per risolvere le equazioni goniometriche in tangente o cotangente, devi ricordarti i valori di queste due funzioni negli angoli principali oppure come usare le funzioni inverse:

se hai un’equazione del tipo £$tg \ x = c$£ disegna la retta £$x=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica e individua su di essa il punto £$P(1;c)$£. La retta che unisce £$P$£ con il centro della circonferenza individua anche gli angoli soluzione della tua equazione;
per risolvere un’equazione elementare in cotangente (come £$cotg \ x= d$£) fai come per la tangente ma disegna la retta £$y=1$£ tangente alla circonferenza goniometrica e individua il punto £$Q(d; 1)$£. La retta che unisce £$Q$£ con il centro della circonferenza individua anche gli angoli soluzione della tua equazione.