Disequazioni goniometriche: cosa sono e come risolverle

Lo studio della goniometria si chiude con il calcolo delle disequazioni goniometriche. Abbiamo imparato a risolvere tutte le equazioni goniometriche e le disequazioni goniometriche elementari, adesso possiamo mettere insieme tutte queste conoscenze per risolvere le disequazioni goniometriche lineari e omogenee.

La soluzione delle disequazioni goniometriche lineari ed omogenee richiede la conoscenza delle formule della goniometria e della risoluzione di equazioni e disequazioni goniometriche elementari. I metodi di risoluzione sono gli stessi delle equazioni goniometriche lineari ed omogenee ma quello che cambia è la lettura delle soluzioni.

Per scegliere l’intervallo delle soluzioni di una disequazione goniometrica lineare o omogenea, che spesso si riconduce ad una disequazione divisa in fattori o fratta, bisogna fare un grafico dei segni all’interno di due o più circonferenze concentriche. Applicando poi la regola dei segni l’intervallo delle soluzioni appare subito dal grafico.

Imparare a risolvere le disequazioni goniometriche lineari ed omogenee di secondo grado tramite gli esercizi svolti ti aiuterà anche a ripassare tutte le altre disequazioni goniometriche e soprattutto a risolvere i problemi di trigonometria, fondamentali in matematica!

• Disequazioni goniometriche lineari
• Disequazioni goniometriche omogenee
• Ripasso delle disequazioni
• Esercizi sulle disequazioni goniometriche
• Sfida sulla disequazione goniometrica

Disequazioni goniometriche lineari

Disequazioni goniometriche lineari e omogenee: cosa sono e come risolverle - Galleria

Per risolvere le disequazioni goniometriche lineari ci sono due metodi. Uno è quello più semplice, che ti consigliamo di usare, l’altro è un po’ più complicato.

Metodo consigliato: metodo grafico. In cosa consiste il metodo grafico per risolvere le disequazioni goniometriche lineari?

1. Risolviamo graficamente il sistema £$\begin{cases} aX+bY+c=0 \\ X^2+Y^2=1 \end{cases}$£ con £$X=cos \ x$£ e £$Y=sen \ x$£
2. Disegniamo la circonferenza goniometrica e la retta ed evidenziamo i loro punti di intersezione (cioè le soluzioni del sistema)
3. Scegliamo l’arco soluzione della disequazione sostituendo le coordinate dell’origine alla disequazione nella forma £$aX+bY+c >0$£ (o £$<, \ \le, \ \ge$£)
   1. se la disequazione è soddisfatta, l’arco giusto è quello che "contiene" l’origine
   2. se la disequazione non è vera, l’arco giusto è quello che non "contiene" l’origine.

Metodo sconsigliato: metodo algebrico della divisione per £$cos \ x$£

1. Dividere tutti i termini della disequazione per £$cos \ x$£
2. Risolviamo la disequazione fattoriale associata
3. Leggiamo gli intervalli delle soluzioni nel grafico della circonferenza goniometrica.

Disequazioni goniometriche omogenee

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Analizziamo le disequazioni goniometriche omogenee riconducibili a quelle di secondo grado. Cioè vediamo i metodi per risolvere le disequazioni goniometriche omogenee della forma: £$a \ sen^2x+b \ sen \ x \ cos \ x + c \ cos^2 x+c > 0 $£.

Metodi algebrici. Trasformiamo la disequazione in una lineare o elementare tramite:

• il raccoglimento a fattor comune: raccolgo il coseno se £$a=0$£, invece raccolgo il seno se £$c=0$£;
• la divisione di ogni termine per £$cos^2x$£, proprio come facevamo per le equazioni omogenee di secondo grado.

Poi faccio il grafico dei segni all’interno di una o più circonferenze goniometriche.

Metodi grafici. Usiamo le formule di duplicazione per trovare una disequazione lineare nell’angolo doppio che poi risolviamo e leggiamo le soluzioni tramite il metodo grafico della circonferenza goniometrica.

Cosa significa trovare e leggere gli intervalli soluzioni della disequazione goniometrica in un grafico? Come si fa il grafico dei segni nelle disequazioni goniometriche?
Tutte le disequazioni in fattori, così come quelle fratte, le risolviamo basandoci sulla regola dei segni. Nel caso di una disequazione semplice facciamo il grafico dei segni, nelle disequazioni goniometriche il grafico dei segni si fa dentro la/le circonferenze goniometriche. Come procedere?

1. Risolviamo separatamente le disequazioni:
   1. fattore 1, o numeratore £$>0$£
   2. fattore 2, o denominatore £$>0$£

   Cioè analizziamo la positività di ogni fattore.

2. Riportiamo le soluzioni su circonferenze concentriche evidenziando gli archi soluzione con dei + e gli altri con dei – (intervalli di positività e negatività della disequazione)
3. Con la regola dei segni troviamo tutti gli archi che simboleggiano gli intervalli di valori che rendono la disequazione positiva o negativa e scelgo quello che mi serve a seconda della disequazione iniziale!

Ripasso delle disequazioni

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Ecco un ripasso veloce di tutto quello che ti serve per risolvere le disequazioni goniometriche!

Esercizi sulle disequazioni goniometriche

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E ora mettiti alla prova! Risolvi queste disequazioni goniometriche con i metodi di risoluzione studiati nella lezione!

Sfida sulla disequazione goniometrica

Testo e soluzione:

Disequazioni goniometriche lineari e omogenee: cosa sono e come risolverle - Galleria

Quale dei due delfini farà il salto più in alto? Sembra impossibile, ma per capirlo devi risolvere una disequazione goniometrica!

Prova a risolvere la sfida. Se hai dei dubbi puoi sempre ripassare la lezione!