Equazioni goniometriche omogenee: come risolverle
Le equazioni goniometriche omogenee sono equazioni i cui termini, formati dalle funzioni goniometriche, appaiono tutti allo stesso grado e nella stessa incognita.
Le equazioni goniometriche omogenee di primo e secondo grado si risolvono riconducendole a equazioni elementari o lineari con il metodo algebrico e quello grafico. Il metodo algebrico consiste nel raccogliere opportunamente o dividere tutta l’equazione per il seno o il coseno dell’angolo dato. Usare il metodo grafico, invece, significa associare un’equazione lineare a quella omogenea sfruttando le formule di duplicazione del seno e del coseno.
Scopriamo quali sono i metodi di risoluzione algebrici e grafici e quale è meglio utilizzare.
- Cosa sono le equazioni goniometriche omogenee
- Equazioni omogenee di II grado: metodo algebrico
- Equazioni riconducibili a omogenee di II grado
- Equazioni omogenee di II grado: metodo grafico
- Esercizi sulle equazioni goniometriche omogenee
Cosa sono le equazioni goniometriche omogenee
Equazioni goniometriche omogenee
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Ripasso: equazioni goniometriche elementari
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Le equazioni goniometriche omogenee in seno e coseno sono quelle in cui tutti i termini sono dello stesso grado.
Le equazioni goniometriche lineari con £$c=0$£ sono delle equazioni goniometriche omogenee di primo grado.
Equazioni omogenee di II grado: metodo algebrico
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Le equazioni goniometriche omogenee di II grado sono della forma £$a \ sen^2x+b \ sen \ x \ cos \ x+c \ cos^2x=0$£. Quando £$a$£, £$b$£ e £$c$£ sono non nulli, l’equazione omogenea è completa.
Per risolvere un’equazione goniometrica omogenea di II grado consideriamo 3 casi:
- se £$a=0$£ basta raccogliere a fattor comune £$cos \ x $£ e sfruttare la legge di annullamento del prodotto. Per risolvere l’equazione omogenea si risolverà un’equazione goniometrica elementare ed una lineare.
- se £$c=0$£ basta raccogliere a fattor comune £$sen \ x$£ e dovrai risolvere un’equazione goniometrica elementare ed una lineare per trovare la soluzione dell’equazione omogenea di partenza.
- £$ a \ne 0 \wedge c \ne 0 $£ possiamo dividere tutti i termini per £$cos \ x$£ o per £$sen \ne 0$£ supponendo che sia diverso da zero e poi controllando che le soluzioni che annullano il coseno o il seno non risolvano l’equazione di partenza. Troviamo così un’equazione goniometrica riconducibile ad elementare in tangente.
Equazioni riconducibili a omogenee di II grado
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Le equazioni goniometriche del tipo £$a \ sen^2x+b \ sen \ x \ cos \ x +c \ cos \ x + d= 0$£, non sono omogenee ma sono riconducibili ad equazioni omogenee di secondo grado sfruttando la prima relazione fondamentale della goniometria. Basta moltiplicare il termine noto £$d$£ per £$sen^2x+cos^2x$£ per ottenere un’equazione omogenea che sappiamo risolvere.
Equazioni omogenee di II grado: metodo grafico
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Il metodo grafico si può applicare dopo aver trasformato l’equazione omogenea di secondo grado in un’equazione lineare in seno e coseno dell’angolo doppio. Per risolvere le equazioni goniometriche omogenee di II grado tramite il metodo grafico applichiamo le formule di duplicazione del seno e del coseno e poi procediamo come per la risoluzione di equazioni lineari con il metodo grafico, questa volta però non sostituiremo £$X=cos \ x$£, ma £$X=cos (2x)$£.
Esercizi sulle equazioni goniometriche omogenee
Equazioni goniometriche omogenee: cosa sono e metodi di risoluzione - Galleria
Ora che hai visto come risolvere le equazioni goniometriche omogenee di II grado, prova a risolvere questi esercizi: così saprai se sei pronto per l’interrogazione o per la verifica.
Se hai dubbi, puoi sempre ripassare la lezione o allenarti con gli esercizi!