Le potenze: esponente razionale e irrazionale

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le potenze con esponente razionale si riferiscono a espressioni matematiche in cui la base è elevata a un esponente che è un numero razionale, ovvero un numero che può essere espresso come il rapporto di due interi, con il denominatore diverso da zero.

Le potenze con esponente irrazionale, d’altra parte, coinvolgono l’elevamento di una base a un esponente che è un numero irrazionale, cioè un numero che non può essere espresso come il rapporto di due interi e ha una espansione decimale infinita e non periodica. Questi tipi di potenze sono meno intuitivi perché l’esponente irrazionale non corrisponde direttamente a un’operazione aritmetica semplice come la radicazione. Tuttavia, attraverso l’uso di limiti e il concetto di continuità delle funzioni esponenziali, è possibile dare significato a queste espressioni e calcolare i loro valori, spesso con l’ausilio di calcolatori o software matematici.

Entrambe queste classi di potenze giocano un ruolo cruciale nel calcolo, specialmente nell’ambito di funzioni esponenziali e logaritmiche, e hanno applicazioni importanti in varie aree della matematica, della fisica e dell’ingegneria. La comprensione di queste potenze amplia notevolmente il nostro arsenale di strumenti matematici, permettendoci di trattare con maggiore flessibilità e profondità una vasta gamma di problemi. Vediamole insieme.

Potenze a esponente razionale
Potenze a esponente irrazionale
Proprietà delle potenze
All'interrogazione potrebbero chiederti...
Sfida sulle potenze irrazionali

Potenze a esponente razionale

Abbiamo studiato le potenze come «moltiplicazioni ripetute»: £$2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16$£
Ora però, invece di parlare solo di potenze (intese come veri e propri numeri), introduciamo la funzione esponenziale, dove l’incognita compare all’esponente £$f(x)=a^x$£.

Il nostro problema è: come deve essere il numero reale affinché la funzione esista … cioè «sia definita»? Al variare dell’esponente £$x$£ abbiamo diverse possibilità.

Iniziamo a considerare esponenti come numeri interi, cioè £$x\in\mathbb{Z}$£

£$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£
£$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]
£$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]

Adesso consideriamo esponenti razionali (frazioni!), cioè £$x\in\mathbb{Q}$£:

£$x>0$£: £$a^x$£ è definita per qualsiasi £$a$£ maggiore o uguale a [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]
£$x=0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ diverso da [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]
£$x<0$£: £$a^x$£ è definita per £$a$£ maggiore di [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"/]

In sostanza, escludendo il caso particolare di esponente nullo, quando l’esponente è una frazione possiamo lavorare solo con basi positive, altrimenti arriveremmo a situazioni non accettabili.

Potenze a esponente irrazionale

A questo punto, la domanda che sorge spontanea è: possiamo considerare anche esponenti irrazionali? Ha senso scrivere un’espressione come £$ 5^{\sqrt{2}} $£?

La risposta è si! Possiamo cercare di riassumere la dimostrazione così:

Il numero £$\sqrt2$£ è un numero irrazionale non periodico, cioè dopo la virgola ha infinite cifre che si susseguono senza un preciso ordine.
Le successioni di numeri decimali finiti (cioè razionali!)
1,4 1,41 1,414 1,4142 … e 1,5 1,42 1,415 1,4143 …
approssimano £$\sqrt2$£ rispettivamente per difetto e per eccesso.
Le successioni di numeri £$5^{1,4}$£ £$5^{1,41}$£ £$5^{1,414}$£ £$5^{1,4142}$£ …. £$5^{1,5}$£ £$5^{1,42}$£ £$5^{1,415}$£ £$5^{1,4143}$£ approssimano il numero reale , che quindi esiste!

Possiamo fare lo stesso ragionamento per una qualsiasi base positiva!
In particolare, possiamo distinguere due casi:

£$a>1, x>0$£ al crescere dell’esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più grandi.
La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell’unico numero reale che è:
- maggiore di tutte le potenze di a con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto;
- minore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.
£$a<1, x>0$£ al crescere dell’esponente, le potenze £$a^x$£ diventano sempre più piccole.
La potenza £$a^x$£ con esponente £$x$£ irrazionale è quell’unico numero reale che è:
- minore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per difetto
- maggiore di tutte le potenze a di con esponenti razionali £$x$£ che approssimano per eccesso.

Infine, quando l’esponente è irrazionale, valgono le proprietà che già conosciamo:

£$1^x=1$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£
£$0^x=0$£ per qualunque esponente irrazionale £$x$£ positivo
£$a^0=1$£ per qualunque base reale a positiva
£$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$£ per qualunque base reale a positiva

Proprietà delle potenze

Anche quando l’esponente è irrazionale, valgono le proprietà delle potenze.

Prodotto di potenze con la stessa base £$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$£
Quoziente di potenze con la stessa base £$a^x:a^y=a^{x-y}$£
Potenza di potenza £$(a^x)^y=a^{xy}$£
Prodotto di potenze con stesso esponente £$a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x$£
Quoziente di potenze con lo stesso esponente £$a^x: b^x=(a: b)^x$£

All’interrogazione potrebbero chiederti…

Hai appena iniziato con le potenze a esponente irrazionale ed è già tempo di interrogazione? Niente panico: esercitati con queste domande e verifica il tuo livello di preparazione.

Se hai dubbi, puoi sempre riguardare la lezione!