Come si risolvono le disequazioni esponenziali

Le disequazioni esponenziali rappresentano un argomento importante nella matematica, situandosi all’intersezione tra algebra e analisi.

Queste particolari disequazioni, caratterizzate dalla presenza di una variabile £$x$£ all’esponente di una potenza, richiedono una comprensione solida delle proprietà delle funzioni esponenziali e delle loro implicazioni.

Come possiamo risolvere le disequazioni esponenziali? Sei indeciso se cambiare il segno della disequazione o no? In questa lezione scoprirai proprio tutti i metodi per risolvere le disequazioni esponenziali. Guarda la lezione e allenati con gli esercizi!

• Cos'è una disequazione esponenziale
• Come risolvere una disequazione esponenziale
• Interrogazione sulle disequazioni esponenziali
• Sfida sulle disequazioni esponenziali

Cos’è una disequazione esponenziale

Disequazioni esponenziali: cosa sono e come risolverle - Galleria

Una disequazione esponenziale è una disequazione che presenta una variabile incognita all’interno dell’esponente di una base esponenziale.

Le disequazioni esponenziali sono riconducibili a una delle quattro forme: £$a^xb, a^x\ge b, a^x\le b$£.

Prima di tutto, dato che gli esponenziali sono sempre positivi, se £$b\le0$£ sappiamo che:

1. £$a^x
2. £$a^x>b$£ è soddisfatta per ogni valore di £$x$£.

Come risolvere una disequazione esponenziale

Risolvere una disequazione esponenziale significa trovare tutti i valori di $x$ per cui la disequazione è vera. Questo può richiedere l’uso di logaritmi, la manipolazione algebrica per ottenere una base comune, o altri metodi matematici per trasformare la disequazione in una forma più semplice e risolvibile.

Le disequazioni esponenziali possono essere impegnative da risolvere a causa della presenza di variabili negli esponenti. Le soluzioni di una disequazione esponenziale possono essere infatti singoli valori, intervalli di valori, o nessun valore, a seconda della specifica disequazione e delle sue proprietà. Tuttavia, esistono diversi metodi efficaci per affrontarle.

Utilizzeremo gli stessi metodi risolutivi che abbiamo visto per le equazioni.

Attenzione! Il verso della disequazione cambia a seconda che la base dell’esponenziale è £$>$£ o £$< 1$£.

Per capire bene, aiutiamoci analizzando i grafici della funzione esponenziale nei due diversi casi.

• Caso 1: Base £$a>1$£
  Scegliamo due punti dell’asse £$ x $£, in modo che £$x_1 Vediamo che i valori corrispondenti £$a^{x_1}$£ e £$a^{x_2}$£ sono nello stesso ordine £$a^{x_1} Quando risolviamo la disuguaglianza tra gli esponenti di una disequazione esponenziale in cui la base è £$a>1$£, dobbiamo mantenere il verso della disequazione.
• Caso 2: Base £$0
  Scegliamo due punti dell’asse £$ x $£, in modo che £$x_1 Le ordinate corrispondenti £$a^{x_1}$£ e £$a^{x_2}$£ sono nell’ordine opposto £$a^{x_1}>a^{x_2}$£.
  Quando risolviamo la disuguaglianza tra gli esponenti di una disequazione esponenziale in cui la base è £$0della disequazione.

Interrogazione sulle disequazioni esponenziali

Disequazioni esponenziali: cosa sono e come risolverle - Galleria

Ora allenati con gli esercizi per imparare a risolvere le disequazioni esponenziali.

Oltre a questi, ce ne sono tanti altri nella sezione dedicata. E sono tutti spiegati!

Sfida sulle disequazioni esponenziali

Testo e soluzione della sfida:

Disequazioni esponenziali: cosa sono e come risolverle - Galleria

Ecco la sfida sulle disequazioni esponenziali! Sei in grado di risolverla? Se hai dubbi, guarda la lezione e allenati con gli esercizi (tutti spiegati) sulle disequazioni esponenziali!