Curva esponenziale: con base tra 0 e 1 o maggiore di 1

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Le curve esponenziali rappresentano uno degli strumenti matematici più potenti e versatili, trovando applicazioni in una vasta gamma di campi, dalla biologia alla fisica, dall’economia alla tecnologia.

Al cuore di queste applicazioni vi è la funzione esponenziale, la cui espressione più generale è $y = a^{x}$ , dove $a$ è una costante positiva e $x$ rappresenta la variabile indipendente. Qui esploreremo insieme in dettaglio la funzione della curva esponenziale, ponendo particolare attenzione a due casi distinti che emergono a seconda del valore di $a$ : quando la base è compresa tra 0 e 1 ( $< a < 1$ ) e quando è maggiore di 1 ( $a > 1$ ).

Ma può succedere di comporre più funzioni: come fare? come rappresentare il grafico? Qui trovi tutta la spiegazione!

Grafico dell'esponenziale con base tra 0 e 1
Curva esponenziale con base maggiore di 1
Composizione di funzioni
Ripassa per l'interrogazione sulla curva esponenziale
Sfida sul grafico della funzione esponenziale

Grafico dell’esponenziale con base tra 0 e 1

Tracciamo nel piano cartesiano il grafico della funzione £$y=a^x$£ con £$a>0$£ e diverso da £$1$£, cioè riportiamo sull’asse delle ascisse i valori dell’argomento £$x$£ e sull’asse delle ordinate i corrispondenti valori di £$a^x$£.

La funzione esponenziale £$y=f(x)=a^x$£è definita per ogni valore di £$x$£. Però la base deve essere sempre positiva!
Dobbiamo distinguere due casi:

£$0
£$a>1$£.

Quali sono le proprietà di questa curva? Abbiamo visto che ogni funzione ha il proprio dominio e il proprio condominio. Un’altra caratteristica è la monotonia.
Per la funzione esponenziale con £$0

Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali.
Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi (dato che la base deve essere sempre positiva, tutte le sue potenze sono positive!).
Monotonia: la curva è sempre decrescente nel suo dominio.

Prendendo valori di £$x$£ sempre più grandi (cioè man mano che tende a £$+\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all’asse £$x$£, senza mai toccarlo: l’asse delle ascisse è un asintoto orizzontale.

Curva esponenziale con base maggiore di 1

Per la funzione esponenziale con £$a>1$£ possiamo scrivere:

Dominio: £$\mathbb{R}$£, tutti i numeri reali;
Codominio: £$\mathbb{R^+}$£, tutti i numeri reali positivi;
Monotonia: la curva è sempre crescente nel suo dominio.

Osserviamo che, prendendo valori di £$x$£ negativi sempre più piccoli (cioè man mano che £$x$£ tende a £$-\infty$£), la curva si avvicina sempre di più all’asse £$x$£ senza mai toccarla: l’asse delle ascisse è un asintoto orizzontale. La curva si avvicina all’asse £$x$£ con ascisse negative in modulo sempre più grandi.