I quantificatori: cosa e quali sono in matematica
I quantificatori sono concetti fondamentali nella matematica, in particolare nella logica matematica e nella teoria degli insiemi, utilizzati per esprimere la quantità o l’estensione delle proprietà che si applicano agli elementi di un dato insieme. Sono strumenti essenziali per formulare enunciati matematici in modo preciso e per analizzare le relazioni tra diversi elementi.
Nella matematica, i due quantificatori principali sono il quantificatore universale e il quantificatore esistenziale. Il quantificatore universale, spesso rappresentato dal simbolo “∀”, sta a indicare che la proprietà o condizione specificata vale per tutti gli elementi dell’insieme in considerazione. Ad esempio, l’affermazione “∀x ∈ N, x + 1 > x” significa che “per ogni numero x nell’insieme dei numeri naturali N, x più 1 è maggiore di x”.
D’altra parte, il quantificatore esistenziale, rappresentato dal simbolo “∃”, è usato per affermare che esiste almeno un elemento nell’insieme per cui vale la proprietà o condizione indicata. Un esempio può essere “∃x ∈ N tale che x è pari”, che si traduce in “esiste almeno un numero x nell’insieme dei numeri naturali N che è pari”.
Vediamoli insieme!
- Il quantificatore universale in matematica
- Il quantificatore esistenziale in matematica
- La negazione del quantificatore universale
- La negazione del quantificatore esistenziale
Il quantificatore universale in matematica
Il quantificatore universale indica che tutti gli elementi dell’insieme che stiamo considerando possiedono una determinata caratteristica.
Si indica con il simbolo £$ \forall $£ e si legge “per ogni”, ma ad esso vengono ricondotte anche le espressioni del tipo “ad ogni”, “tutti”.
Ad esempio:
“Tutti gli studenti della classe hanno avuto voto maggiore di £$6$£”
Verrà tradotto in termini logici con l’espressione:
“Ad ogni studente della classe corrisponde un voto maggiore di £$6$£”
In termini matematici:
£$ \forall \ S \in C \ \vert \ V > 6$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.
Il quantificatore esistenziale in matematica
Il quantificatore esistenziale indica che almeno un elemento dell’insieme che stiamo considerando possiede una specifica caratteristica.
Si legge “esiste” e si indica con il simbolo £$ \exists $£, ma ad essa si riconducono anche espressioni del tipo “esiste almeno uno”, “alcuni”.
Ad esempio, l’espressione:
“Alcuni studenti della classe hanno avuto un voto maggiore di £$8$£”.
Può essere espressa anche con l’espressione:
“Esiste almeno uno studente della classe che ha avuto un voto maggiore di £$8$£”.
Il fatto che si dica “almeno uno” implica che possono essercene £$1, 2, 3,$£ pochi o molti (cioè alcuni) o tutti!
In termini matematici:
£$\exists \ S \in C \ \vert \ V > 8$£; dove £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£ voto.
Se intendiamo dire invece che solo uno studente della classe ha avuto voto maggiore di £$8$£, allora al quantificatore esistenziale dobbiamo affiancare un punto esclamativo in modo che si indichi oltre all’esistenza anche l’unicità.
£$\exists ! $£
In termini matematici:
£$\exists ! \ S \in C \ \vert \ V >10$£; con £$S=$£ studente, £$C=$£ insieme classe, £$V=$£voto.
In questo caso il quantificatore diventa di esistenza ed unicità.
La negazione del quantificatore universale
“Tutti i gatti nel palazzo sono neri”.
Qual è la sua negazione?
Attenzione: NON è “Nessun gatto nel palazzo è nero”
“Non tutti i gatti nel palazzo sono neri” che si può esprimere sbarrando il quantificatore universale.
£$\not \forall$£
Tale espressione negata può essere espressa anche:
“Esistono gatti nel palazzo che non sono neri”, oppure
“Esiste almeno un gatto nel palazzo che non è nero”.
Attenzione: il quantificatore universale può essere negato utilizzando il quantificatore esistenziale.
La negazione del quantificatore esistenziale
“Esistono gatti azzurri’”
Risposta:
“Non esistono gatti azzurri.’’
In questo caso, basta sostituire il quantificatore esistenziale con il suo negato £$\nexists$£ che si legge “non esiste”.
E possibile negare il quantificatore esistenziale anche utilizzando il quantificatore universale. Ad esempio:
“Per ogni gatto, esso non è azzurro”.
Attenzione: il quantificatore esistenziale può essere negato utilizzando il quantificatore universale.