Le isometrie: simmetria assiale e centrale
L’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la simmetria assiale e la simmetria centrale.
Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l’equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all’asse £$x$£ o all’asse £$y$£, o di una rotazione di £$90°$£ con centro nell’origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!
Con i prossimi video lezione imparerai:
- Simmetria assiale e centrale: cosa sono e quali sono le equazioni generali o particolari di alcune trasformazioni
- Cos'è un'isometria
- Simmetrie assiali e simmetrie centrali
- Interrogazione sulle isometrie
- Sfida sulle isometrie
Cos’è un’isometria
L’isometria è una trasformazione geometrica che mantiene inalterate le distanze tra i punti di una figura, preservando così la sua forma e le sue dimensioni. In altre parole, se applichiamo un’isometria a una figura geometrica, l’immagine risultante sarà congruente alla figura originale, avendo la stessa forma e la stessa grandezza, anche se la sua posizione o orientamento potrebbero cambiare.
Ci sono diversi tipi di isometrie nel piano euclideo, tra cui:
- Traslazione: Sposta ogni punto di una figura di una distanza fissa in una direzione specifica. La figura traslata è identica e parallela a quella originale.
- Rotazione: Ruota una figura attorno a un punto fisso, detto centro di rotazione, di un angolo determinato. La figura ruotata mantiene la stessa forma e dimensione dell’originale.
- La simmetria centrale, o rotazione di 180 gradi, è un’isometria in cui ogni punto di una figura viene ruotato di 180 gradi attorno a un punto fisso, detto centro di simmetria. Questa trasformazione produce un’immagine che è una versione ribaltata dell’originale, come se fosse stata girata "sottosopra".
- La simmetria assiale, invece, implica una riflessione rispetto a una linea, detta asse di simmetria. In questa trasformazione, ogni punto della figura originale viene "specchiato" rispetto all’asse, creando un’immagine simmetrica che mantiene la stessa distanza dall’asse, ma si trova sul lato opposto.
Simmetrie assiali e simmetrie centrali
Consideriamo una retta £$r$£ del piano cartesiano e un punto £$P$£.
La simmetria assiale è l’isometria che associa ad ogni punto £$P$£ un punto £$P’$£, dalla parte opposta del piano rispetto alla retta £$r$£, in modo che:
- £$PP’$£ sia perpendicolare a £$r$£;
- la retta £$r$£ divida il segmento £$PP’$£ in due parti congruenti.
Per vedere le equazioni della simmetria assiale consideriamo tre esempi fondamentali (che sono anche i più usati!):
- Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse £$x$£: £$ S_{r:y=a}= \begin{cases} x’=x \\ y’=2a-y \end{cases}$£
- Simmetria rispetto ad una retta parallela all’asse £$y$£: £$ S_{r:x=b}= \begin{cases} x’=2b-x \\ y’=y \end{cases}$£
- Simmetria rispetto alle bisettrici dei quadranti:
- Bisettrice I e III quadrante: £$ S_{r:y=x}= \begin{cases} x’=y \\ y’=x \end{cases}$£
- Bisettrice II e IV quadrante: £$ S_{r:y=-x}= \begin{cases} x’=-y \\ y’=-x \end{cases}$£
La simmetria centrale è l’isometria che indica la trasformazione di ogni punto del piano rispetto ad un fissato punto £$C$£, detto centro della simmetria.
Vogliamo trovare il simmetrico del punto £$P(x;y)$£ rispetto alla simmetria centrale di centro £$C(a;b)$£.
Partiamo con questa costruzione geometrica:
- prendiamo il punto £$P(x;y)$£;
- tracciamo la retta che lo congiunge al punto £$C$£ e il suo prolungamento.
I segmenti £$PC$£ e £$P’C$£ devono essere congruenti: £$C$£ è il punto medio del segmento £$PP’$£.
Per £$P’$£ abbiamo allora:
£$ S_C= \begin{cases} x’=2a-x \\ y’=2b-y \end{cases}$£.
Un caso particolare di simmetria centrale è quella in cui il centro di simmetria è l’origine degli assi, cioè il punto £$ O(0;0)$£.
Interrogazione sulle isometrie
Cerca di rispondere in modo corretto alle domande dell’interrogazione sulle isometrie: potrebbero essere quelle di domani durante la lezione di matematica!
Continua poi ad allenarti con gli esercizi!
Sfida sulle isometrie
Sfida:
Soluzione:
Se all’Africa applichi una simmetria rispetto all’equatore… come diventa? Inizia a scoprire che cosa sono le isometrie con la nostra sfida! Poi guarda i video, così scoprirai tutte le isometrie: le traslazioni, le simmetrie centrali e assiali e le rotazioni.