Le isometrie: traslazione e rotazione
L’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la traslazione e la rotazione.
Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l’equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all’asse £$x$£ o all’asse £$y$£, o di una rotazione di £$90°$£ con centro nell’origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!
Con i prossimi video lezione imparerai:
- Isometrie: cosa sono e quali sono
- Traslazione: cosa è e quale è l’equazione della trasformazione
- Rotazione: cosa è e quali sono le equazioni di una rotazione in senso orario e antiorario di £$90°$£
- Che cos'è un'isometria
- Esempi di isometrie
- Come si riconosce una traslazione
- Che cosa sono le rotazioni
- Rotazioni con centro diverso dall’origine
Che cos’è un’isometria
Un’isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono 4 tipi di isometrie:
- la traslazione;
- la simmetria assiale;
- la simmetria centrale;
- la rotazione.
Esempi di isometrie
Scopriamo le quattro tipologie di isometrie e vediamo qui le loro equazioni.
Traslazione:
£$\begin{cases} x’ = x+a \\ y’=y+b \end{cases}$£ £$\vec v (a ; b)$£
Simmetria assiale:
£$\begin{cases} x’ = 2a-x \\ y’=y \end{cases}$£ £$x=a$£
£$\begin{cases} x’ = x \\ y’=2b-y \end{cases}$£ £$y=b$£
£$\begin{cases} x’ = y \\ y’=x \end{cases}$£ £$y=x$£
£$\begin{cases} x’ = -y \\ y’=-x \end{cases}$£ £$y=-x$£
Simmetria centrale:
£$\begin{cases} x’ = 2a-x \\ y’=2b-y \end{cases}$£ £$C(a;b)$£
Rotazione:
£$\begin{cases} x’ = (x-x_c)cos\alpha -(y-y_c)sin\alpha +x_c \\ y’=(x-x_c)sin\alpha +(y-y_c)cos\alpha +y_c \end{cases}$£ £$C(x_c;y_c) \alpha$£
Come si riconosce una traslazione
In questo video vedrai che cos’è e come è rappresentata in matematica una traslazione!
Considera un punto £$A(x,y) $£ nel piano cartesiano e un vettore £$\overrightarrow{v}(a,b) $£.
Un vettore è caratterizzato da:
- un modulo o intensità (sua lunghezza);
- una direzione (la retta su cui poggia il vettore);
- un verso, che indica l’orientamento.
La traslazione di vettore £$\overrightarrow{v}$£ è la trasformazione geometrica che associa al punto £$ A(x;y) $£ il punto £$ A'(x’;y’) $£ del piano cartesiano che coincide con la punta del vettore £$\overrightarrow{v}$£.
I punti £$A$£ e £$A’$£ sono quindi gli estremi del vettore £$\overrightarrow{v}$£.
La traslazione di vettore £$\overrightarrow{v}$£ si indica con: £$ \tau_v= \begin{cases} x’=x+a \\ y’=y+b \end{cases}$£.
Che cosa sono le rotazioni
Considera un punto £$P$£, un punto £$O$£ e un angolo £$\alpha$£.
La rotazione di centro £$O$£ e angolo £$\alpha$£ è l’isometria che associa a £$P$£ il punto £$P’$£ in modo da avere:
- £$PO = P’O$£;
- £$O$£ vertice dell’angolo e centro di rotazione;
- l’angolo £$P\hat{O}P’$£ congruente ad £$\alpha$£.
Le formule generali di questa trasformazione utilizzano le funzioni goniometriche seno e coseno. Vedrai quindi un caso particolare: quello della rotazione di un angolo retto con centro nell’origine degli assi.
Considera il punto £$P(x;y)$£ e ruotalo con centro l’origine £$O(0;0)$£ e di un angolo £$\alpha=90°$£.Il punto £$P’$£ avrà coordinate diverse a seconda che la rotazione sia in senso orario o antiorario:
- In senso antiorario: £$ R_{0,90°}= \begin{cases} x’=-y \\ y’=x \end{cases}$£;
- In senso orario: £$ R^o_{0,90°}= \begin{cases} x’=y \\ y’=-x \end{cases}$£.
Rotazioni con centro diverso dall’origine
Nel caso in cui la rotazione sia di un angolo α qualsiasi, le sue equazioni sono:
£$\begin{cases}x’= x\cos\cos\alpha -y\ \sin\sin\alpha \\ y’=x\sin\sin\alpha + y\cos\cos\alpha \end{cases}$£Nel caso in cui la rotazione abbia un centro C qualsiasi di coordinate C (£$x_C;y_C$£), le sue equazioni sono:
£$\begin{cases} x’=(x-x_C)\cos\cos\alpha -(y-y_C ) \sin\sin\alpha +x_C \\ y’= (x-x_C ) \sin\sin\alpha + (y-y_C) \cos\cos\alpha +y_C \end{cases}$£Se, date le equazioni di una rotazione, dovessimo determinare le equazioni del centro, considerando che il centro di rotazione è l’unico punto unito della trasformazione, dovremmo procedere con il calcolo ponendo x’=x e y’=y.
Se osserviamo la prima equazione, prendendo il coefficiente della x e l’opposto del coefficiente della y, possiamo determinare l’angolo di rotazione.